We wszystkich poniższych zadaniach słowo 'udowodnij', znaczy napisz rozumowanie w postaci kolejnych punktów, jasno zaznaczając z jakich praw w danym punkcie korzystasz.
Zadanie 1.
Udowodnij, że niezależnie od liczb A,B, o ile tylko A≠0 to istnieje co najwyżej jedna liczba x, spełniająca A⋅x+B=0.
- Rozważmy dowolne A,B, spełniające A≠0.
- Załóżmy, że są dane liczby x1,x2, takie że A⋅x1+B=0=A⋅x2+B.
- Pokażemy, że x1 = x2.
- Skoro obie liczby x1,x2, spełniają równanie, to w szczególności A⋅x1+B=0=A⋅x2+B.
- Odejmijmy od obu skrajnych stron tego równania B.
- Otrzymujemy równanie A⋅x1=A⋅x2.
- Ponieważ A≠0, możemy obie strony tego równania podzielić przez A.
- Otrzymujemy wtedy x1 = x2.
- Czyli wszystkie rozwiązania tego równania jakie w ogóle mogą istnieć są równe. Więc równanie może mieć co najwyżej jedno rozwiązanie.
Można też pokazać, że takie równanie ma zawsze przynajmniej jedno rozwiązanie. Ale w tym zadaniu nie trzeba, bo teza mówi, że istnieje co najwyżej jedno rozwiązanie.
Zadanie 2.
Udowodnij korzystając jedynie z praw arytmetyki, że jeśli (x + 1)(x − 1) = 0, to x = 1, lub x = − 1.
-
- Jeśli dowolne liczby a,b spełniają a⋅b=0, to a = 0, lub b = 0.
Dowód lematu:
- Rozważmy dowolne liczby a,b, spełniające a⋅b=0.
- Rozpatrzmy cztery możliwe przypadki:
- a = b = 0. Wtedy między innymi a = 0.
- a = 0 i b≠0. Wtedy też a = 0.
- a≠0 i b = 0. Wtedy b = 0.
- a≠0 i b≠0. Wtedy dobrze określona jest liczba 1a, bo a≠0. Możemy przez nią pomnożyć obie strony równania a⋅b=0, otrzymując b=0a=0. Ale to jest sprzeczność, bo w tym punkcie rozpatrujemy sytuację gdy b≠0.
- Spośród czterech przypadków, pierwsze trzy prowadzą do tezy, natomiast ostatni prowadzi do sprzeczności. Więc dla każdych liczb a,b spełniających a⋅b=0, zajdzie któryś z pierwszych trzech przypadków. Czyli spełnione będzie, że a = 0, lub b = 0.
Teraz przystąpimy do dowodu twierdzenia postawionego w zadaniu:
- Rozważmy x, spełniający (x + 1)(x − 1) = 0.
- Oznaczmy x + 1 przez a oraz x − 1 przez b.
- Wiemy więc, że a⋅b=0.
- Skorzystajmy z powyższego lematu. Jego założenie jest spełnione: a,b to pewne liczby, takie że a⋅b=0.
- Więc musi być a = 0, lub b = 0. Rozpatrzmy te przypadki:
- Jeśli a = 0, to znaczy że x + 1 = 0, więc x = − 1.
- Jeśli b = 0, to znaczy że x − 1 = 0, więc x = 1.
- Niezależnie od tego który z powyższych przypadków ma miejsce, prawdą jest że x = 1, lub x = − 1
Zadanie 3.
Udowodnij, lub pokaż że nie jest prawdą, stwierdzenie: jeśli liczby rzeczywiste a,b,c, spełniają warunek a⋅c=b⋅c, to a = b.
- Rozważmy liczby a,b,c, spełniające a⋅c=b⋅c.
- Podzielmy obie strony równości przez c.
- Otrzymujemy a = b, co kończy dowód.
W oparciu o ten błąd, pokaż przykład liczb a,b,c, które przeczą danemu stwierdzeniu.
Aby pokazać, że stwierdzenie jest nieprawdziwe, trzeba wskazać konkretne liczby a,b,c, spełniające warunek a⋅c=b⋅c i nie spełniające a = b. Możemy na przykład wziąć: a = 5,b = 7,c = 0. Wtedy a⋅c=0=b⋅c, ale a≠b.
Zadanie 4.
Udowodnij, że jeśli liczby rzeczywiste a,b,c spełniają warunek a⋅c=b⋅c i a⋅c≠0, to a = b.
- Rozważmy liczby a,b,c jak w założeniach.
- Pokażemy, że c≠0. Mianowicie, gdyby c = 0, to niezależnie od a, mielibyśmy a⋅c=0, a mamy założenie że a⋅c≠0. Czyli była by sprzeczność.
- Czyli wiemy, że c≠0. W takim razie możemy podzielić obie strony równości a⋅c=b⋅c przez c
- Po takim dzieleniu, otrzymujemy równość a = b, czyli tezę.