Skip to Content

Dowody - zadania

We wszystkich poniższych zadaniach słowo 'udowodnij', znaczy napisz rozumowanie w postaci kolejnych punktów, jasno zaznaczając z jakich praw w danym punkcie korzystasz.

Zadanie 1.

Udowodnij, że niezależnie od liczb A,B, o ile tylko \(A\neq 0\) to istnieje co najwyżej jedna liczba x, spełniająca \(A\cdot x + B = 0\).

Wskazówka:
Załóż, że dwie liczby x1,x2 są rozwiązaniami tego równania, pokaż wtedy, że x1 = x2. Wywnioskuj z tego, że równanie ma co najwyżej jedno rozwiązanie.


Rozwiązanie:

  1. Rozważmy dowolne A,B, spełniające \(A\neq 0\).
  2. Załóżmy, że są dane liczby x1,x2, takie że \(A\cdot x_1+B=0=A\cdot x_2+B\).
  3. Pokażemy, że x1 = x2.
  4. Skoro obie liczby x1,x2, spełniają równanie, to w szczególności \(A\cdot x_1+B=0=A\cdot x_2+B\).
  5. Odejmijmy od obu skrajnych stron tego równania B.
  6. Otrzymujemy równanie \(A\cdot x_1=A\cdot x_2\).
  7. Ponieważ \(A\neq 0\), możemy obie strony tego równania podzielić przez A.
  8. Otrzymujemy wtedy x1 = x2.
  9. Czyli wszystkie rozwiązania tego równania jakie w ogóle mogą istnieć są równe. Więc równanie może mieć co najwyżej jedno rozwiązanie.

Można też pokazać, że takie równanie ma zawsze przynajmniej jedno rozwiązanie. Ale w tym zadaniu nie trzeba, bo teza mówi, że istnieje co najwyżej jedno rozwiązanie.


Zadanie 2.

Udowodnij korzystając jedynie z praw arytmetyki, że jeśli (x + 1)(x − 1) = 0, to x = 1, lub x = − 1.

Wskazówka:
Udowodnij, że jeśli \(a\neq 0\) i \(b\neq 0\), to \(a\cdot b\neq 0\). Wywnioskuj, że jeśli \(a\cdot b=0\), to a = 0, lub b = 0.

Rozwiązanie:
Najpierw pokażemy pomocniczy lemat:

Jeśli dowolne liczby a,b spełniają \(a\cdot b= 0\), to a = 0, lub b = 0.

Dowód lematu:

  1. Rozważmy dowolne liczby a,b, spełniające \(a\cdot b=0\).
  2. Rozpatrzmy cztery możliwe przypadki:
    1. a = b = 0. Wtedy między innymi a = 0.
    2. a = 0 i \(b\neq 0\). Wtedy też a = 0.
    3. \(a\neq 0\) i b = 0. Wtedy b = 0.
    4. \(a\neq 0\) i \(b\neq 0\). Wtedy dobrze określona jest liczba \(\frac{1}{a}\), bo \(a\neq 0\). Możemy przez nią pomnożyć obie strony równania \(a\cdot b=0\), otrzymując \(b=\frac{0}{a}=0\). Ale to jest sprzeczność, bo w tym punkcie rozpatrujemy sytuację gdy \(b\neq 0\).
  3. Spośród czterech przypadków, pierwsze trzy prowadzą do tezy, natomiast ostatni prowadzi do sprzeczności. Więc dla każdych liczb a,b spełniających \(a\cdot b=0\), zajdzie któryś z pierwszych trzech przypadków. Czyli spełnione będzie, że a = 0, lub b = 0.

Teraz przystąpimy do dowodu twierdzenia postawionego w zadaniu:

  1. Rozważmy x, spełniający (x + 1)(x − 1) = 0.
  2. Oznaczmy x + 1 przez a oraz x − 1 przez b.
  3. Wiemy więc, że \(a\cdot b=0\).
  4. Skorzystajmy z powyższego lematu. Jego założenie jest spełnione: a,b to pewne liczby, takie że \(a\cdot b=0\).
  5. Więc musi być a = 0, lub b = 0. Rozpatrzmy te przypadki:
    1. Jeśli a = 0, to znaczy że x + 1 = 0, więc x = − 1.
    2. Jeśli b = 0, to znaczy że x − 1 = 0, więc x = 1.
  6. Niezależnie od tego który z powyższych przypadków ma miejsce, prawdą jest że x = 1, lub x = − 1


Zadanie 3.

Udowodnij, lub pokaż że nie jest prawdą, stwierdzenie: jeśli liczby rzeczywiste a,b,c, spełniają warunek \(a\cdot c=b\cdot c\), to a = b.

Wskazówka:
Znajdź błąd w rozumowaniu:

  1. Rozważmy liczby a,b,c, spełniające \(a\cdot c=b\cdot c\).
  2. Podzielmy obie strony równości przez c.
  3. Otrzymujemy a = b, co kończy dowód.

W oparciu o ten błąd, pokaż przykład liczb a,b,c, które przeczą danemu stwierdzeniu.


Rozwiązanie:
Stwierdzenie to nie jest prawdą. Powyższy dowód jest błędny, gdyż c może być równe 0, a wtedy nie możemy podzielić obu stron równości przez 0.

Aby pokazać, że stwierdzenie jest nieprawdziwe, trzeba wskazać konkretne liczby a,b,c, spełniające warunek \(a\cdot c=b\cdot c\) i nie spełniające a = b. Możemy na przykład wziąć: a = 5,b = 7,c = 0. Wtedy \(a\cdot c=0=b\cdot c\), ale \(a\neq b\).


Zadanie 4.

Udowodnij, że jeśli liczby rzeczywiste a,b,c spełniają warunek \(a\cdot c=b\cdot c\) i \(a\cdot c\neq 0\), to a = b.

Wskazówka:
Spróbuj użyć dowodu ze wskazówki do zadania 3., ale na samym początku pokaż, że \(c\neq 0\).


Rozwiązanie:

  1. Rozważmy liczby a,b,c jak w założeniach.
  2. Pokażemy, że \(c\neq 0\). Mianowicie, gdyby c = 0, to niezależnie od a, mielibyśmy \(a\cdot c=0\), a mamy założenie że \(a\cdot c\neq 0\). Czyli była by sprzeczność.
  3. Czyli wiemy, że \(c\neq 0\). W takim razie możemy podzielić obie strony równości \(a\cdot c=b\cdot c\) przez c
  4. Po takim dzieleniu, otrzymujemy równość a = b, czyli tezę.