Dowody - zadania

We wszystkich poniższych zadaniach słowo 'udowodnij', znaczy napisz rozumowanie w postaci kolejnych punktów, jasno zaznaczając z jakich praw w danym punkcie korzystasz.

Zadanie 1.

Udowodnij, że niezależnie od liczb A,B, o ile tylko \(A\neq 0\) to istnieje co najwyżej jedna liczba x, spełniająca \(A\cdot x + B = 0\).

1. Rozważmy dowolne A,B, spełniające \(A\neq 0\).
2. Załóżmy, że są dane liczby x₁,x₂, takie że \(A\cdot x_1+B=0=A\cdot x_2+B\).
3. Pokażemy, że x₁ = x₂.
4. Skoro obie liczby x₁,x₂, spełniają równanie, to w szczególności \(A\cdot x_1+B=0=A\cdot x_2+B\).
5. Odejmijmy od obu skrajnych stron tego równania B.
6. Otrzymujemy równanie \(A\cdot x_1=A\cdot x_2\).
7. Ponieważ \(A\neq 0\), możemy obie strony tego równania podzielić przez A.
8. Otrzymujemy wtedy x₁ = x₂.
9. Czyli wszystkie rozwiązania tego równania jakie w ogóle mogą istnieć są równe. Więc równanie może mieć co najwyżej jedno rozwiązanie.

Można też pokazać, że takie równanie ma zawsze przynajmniej jedno rozwiązanie. Ale w tym zadaniu nie trzeba, bo teza mówi, że istnieje co najwyżej jedno rozwiązanie.

Zadanie 2.

Udowodnij korzystając jedynie z praw arytmetyki, że jeśli (x + 1)(x − 1) = 0, to x = 1, lub x = − 1.

Jeśli dowolne liczby a,b spełniają \(a\cdot b= 0\), to a = 0, lub b = 0.

Dowód lematu:

1. Rozważmy dowolne liczby a,b, spełniające \(a\cdot b=0\).
2. Rozpatrzmy cztery możliwe przypadki:
   1. a = b = 0. Wtedy między innymi a = 0.
   2. a = 0 i \(b\neq 0\). Wtedy też a = 0.
   3. \(a\neq 0\) i b = 0. Wtedy b = 0.
   4. \(a\neq 0\) i \(b\neq 0\). Wtedy dobrze określona jest liczba \(\frac{1}{a}\), bo \(a\neq 0\). Możemy przez nią pomnożyć obie strony równania \(a\cdot b=0\), otrzymując \(b=\frac{0}{a}=0\). Ale to jest sprzeczność, bo w tym punkcie rozpatrujemy sytuację gdy \(b\neq 0\).
3. Spośród czterech przypadków, pierwsze trzy prowadzą do tezy, natomiast ostatni prowadzi do sprzeczności. Więc dla każdych liczb a,b spełniających \(a\cdot b=0\), zajdzie któryś z pierwszych trzech przypadków. Czyli spełnione będzie, że a = 0, lub b = 0.

Teraz przystąpimy do dowodu twierdzenia postawionego w zadaniu:

1. Rozważmy x, spełniający (x + 1)(x − 1) = 0.
2. Oznaczmy x + 1 przez a oraz x − 1 przez b.
3. Wiemy więc, że \(a\cdot b=0\).
4. Skorzystajmy z powyższego lematu. Jego założenie jest spełnione: a,b to pewne liczby, takie że \(a\cdot b=0\).
5. Więc musi być a = 0, lub b = 0. Rozpatrzmy te przypadki:
   1. Jeśli a = 0, to znaczy że x + 1 = 0, więc x = − 1.
   2. Jeśli b = 0, to znaczy że x − 1 = 0, więc x = 1.
6. Niezależnie od tego który z powyższych przypadków ma miejsce, prawdą jest że x = 1, lub x = − 1

Zadanie 3.

Udowodnij, lub pokaż że nie jest prawdą, stwierdzenie: jeśli liczby rzeczywiste a,b,c, spełniają warunek \(a\cdot c=b\cdot c\), to a = b.

1. Rozważmy liczby a,b,c, spełniające \(a\cdot c=b\cdot c\).
2. Podzielmy obie strony równości przez c.
3. Otrzymujemy a = b, co kończy dowód.

W oparciu o ten błąd, pokaż przykład liczb a,b,c, które przeczą danemu stwierdzeniu.

Aby pokazać, że stwierdzenie jest nieprawdziwe, trzeba wskazać konkretne liczby a,b,c, spełniające warunek \(a\cdot c=b\cdot c\) i nie spełniające a = b. Możemy na przykład wziąć: a = 5,b = 7,c = 0. Wtedy \(a\cdot c=0=b\cdot c\), ale \(a\neq b\).

Zadanie 4.

Udowodnij, że jeśli liczby rzeczywiste a,b,c spełniają warunek \(a\cdot c=b\cdot c\) i \(a\cdot c\neq 0\), to a = b.

1. Rozważmy liczby a,b,c jak w założeniach.
2. Pokażemy, że \(c\neq 0\). Mianowicie, gdyby c = 0, to niezależnie od a, mielibyśmy \(a\cdot c=0\), a mamy założenie że \(a\cdot c\neq 0\). Czyli była by sprzeczność.
3. Czyli wiemy, że \(c\neq 0\). W takim razie możemy podzielić obie strony równości \(a\cdot c=b\cdot c\) przez c
4. Po takim dzieleniu, otrzymujemy równość a = b, czyli tezę.