Podobnie jak w przypadku rachunku zdań, również rachunek predykatów ma silne związki z wyrażeniami języka potocznego. Pomyślmy o zdaniu (zresztą fałszywym): każdy kot jest czarny. Czy umiemy zapisać to zdanie używając kwantyfikatorów? Aby zrobić to ściśle, potrzebować będziemy kilku oznaczeń:
- Wszystkie liczby rzeczywiste oznaczamy \(\mathbb R\). W tym przykładzie chcemy się wypowiadać o kotach, więc musimy mieć oznaczenie na wszystkie koty. Powiedzmy, że będzie to K. Wtedy napis \(x\in K\) mówić będzie, że x oznacza jakiegoś kota.
- Gdy mówimy o liczbach, mamy do dyspozycji wiele oznaczeń na własności, jakie mogą one mieć. Na przykład piszemy x > y, albo z = 0. W tym przykładzie orzekamy o kolorach kotów. W tym celu zdefiniujmy własność Cz, jaką mogą mieć koty. Własność ta mówi że dany kot jest czarny, piszemy to Cz(x).
Gdy już mamy wprowadzone powyższe oznaczenia, zdanie ,każdy kot jest czarny' wyraża się po prostu:
- \(\forall_{x\in K} Cz(x)\), czyli ,dla każdego x oznaczającego kota, zachodzi własność x jest czarny'.
Jak zaznaczyliśmy, to zdanie jest fałszywe. Ale jak to pokazać? Otóż wystarczy wskazać kota, który nie jest czarny. Czyli intuicyjnie, zdanie przeciwne do poprzedniego, to:
- \(\exists_{x\in K} \lnot Cz(x)\), czyli ,istnieje x oznaczające kota, dla którego nie jest prawdą, że x jest czarny'.
To zdanie jest już prawdziwe, jako dowód mogę wskazać kota mojej kuzynki, który nie jest czarny. Więcej o tym jak dowodzić zdań z kwantyfikatorami w dalszej części.
Teraz pora na bardziej skomplikowany przykład. Aby go zaprezentować, potrzebujemy dodatkowego oznaczenia. Mianowicie dla danego kota \(x\in K\), przez M(x) oznaczamy jego matkę. Czyli na przykład, jeśli matką Puszka jest Iskierka, to M(Puszek) = Iskierka.
|
Ćwiczenie Jak, w języku predykatów, zapisać zdanie ,każdy czarny kot ma czarną matkę'? |