Wyrażenia rachunku predykatów

Omawiany w poprzednim rozdziale rachunek zdań można traktować jako zwykłe obliczenia na znaczkach. Rachunek predykatów jest pod tym względem inny, gdyż zawsze odnosi się on do konkretnych obiektów: liczb rzeczywistych, naturalnych, czy kotów. Dlatego też, wewnątrz formuł z kwantyfikatorami nie występują już zmienne P,Q,R, tylko wyrażenia mówiące coś o obiektach. Przykłady takich wyrażeń, to $x^2\geq y$, czy Cz(M(x)).

W tej sekcji uściślimy, czym są te wyrażenia. Otóż powstają one z dwóch składników:

• termów, czyli operacji na obiektach, na przykład a² + b, po prostu c, czy M(x) są termami.
• predykatów, czyli własności jakie mogą mieć obiekty, na przykład $\geq$, czy Cz.

Wartością termu, jest zawsze konkretny obiekt, na przykład przy ustalonych $x,y\in\mathbb R$, term x + y to jakaś konkretna liczba rzeczywista. Predykat natomiast może być spełniony, lub nie spełniony, czyli ma wartość logiczną. Czasami predykaty nazywane są symbolami relacyjnymi.

Sposób łączenia termów i predykatów, jest następujący:

1. Opisujemy obiekty o których chcemy się wypowiedzieć, wykorzystując termy. Na przykład, gdy dane są liczby a,b, tworzymy z nich dwa termy: a² + b² i 2ab.
2. Łączymy stworzone termy predykatem, na przykład z dwóch powyższych termów i predykatu $\geq$, tworzymy formułę $a^2+b^2\geq 2ab$.

Korzystając z tej formuły, możemy napisać wyrażenie rachunku predykatów $\forall_{a,b\in\mathbb R} a^2+b^2\geq 2ab$, czyli ,dla każdych liczb rzeczywistych a,b, zachodzi nierówność $a^2+b^2\geq 2ab$'. To wyrażenie jest prawdą, dowód był podany w jednym z poprzednich rozdziałów.

Oczywiście, w zależności od tego o jakich obiektach się wypowiadamy, mamy do dyspozycji różne termy i predykaty. Gdy mówimy o liczbach, termy zawierają znaki dodawania, mnożenia, konkretne liczby itp, a predykaty to na przykład $\geq, =$. Gdy zaś wypowiadamy się o kotach, termy zawierają operację M, a predykaty to Cz i = .

Wartość zdania

Dla danego zdania rachunku predykatów (czyli formuły bez zmiennych wolnych), można próbować sprawdzać czy jest ono prawdziwe. W przeciwieństwie do rachunku zdań, sprawa jest tutaj dużo bardziej skomplikowana. Tam wystarczyło znać wartości zmiennych $P,Q,R,\ldots$ występujących w wyrażeniu, podstawić je do formuły, dokonać pewnych rachunków i na koniec otrzymało się wartość logiczną.

W przypadku rachunku predykatów, wyrażenia odnoszą się do konkretnych obiektów (np. liczb rzeczywistych). Nie wystarczy więc już rachować, trzeba wniknąć we własności odpowiednich pojęć. Na przykład zdanie $\forall_{x\in\mathbb R} x^2\geq 0$ jest prawdziwe, ale żeby się o tym przekonać, trzeba przeprowadzić pewne rozumowanie (dowód). Co gorsze, zdanie $\forall_x x\geq 0$ jest prawdą dla x będących liczbami naturalnymi, a nie jest prawdą, gdy x oznacza liczby całkowite. Są znane w matematyce konkretne zdania rachunku predykatów, mówiące na przykład o własnościach liczb rzeczywistych, co do których wciąż nie wiadomo czy są prawdziwe, czy nie. Zdania takie nazywa się hipotezami, jednym z przykładów jest hipoteza Riemanna.