Kwantyfikatory - zadania

Zadanie 1.

Wprowadź odpowiednią notację i zapisz z użyciem kwantyfikatorów zdanie:

Każdy pies ugryzł kiedyś pewnego człowieka.

• P to zbiór wszystkich psów,
• L to zbiór wszystkich ludzi,
• U(p,c) to relacja, mówiąca że pies p, ugryzł kiedyś człowieka c.

$\forall_{p\in P}\exists_{c\in L} U(p,c)$.

Zadanie 2.

Znajdź przykład w języku potocznym dla zdania:

$\left(\forall_{x\in X}\exists_{y\in Y} W(y)\right)\Rightarrow \exists_{y\in Y} W(y)$.

Czy to zdanie jest prawdziwe, niezależnie od zbiorów X,Y i predykatu W?

Jeśli dla każdego cesarza zamieszkałego w Warszawie istnieje pałac cesarski położony w Warszawie, to istnieje jakiś pałac cesarski w Warszawie.

Zdanie jest fałszywe, gdyż prawdą jest założenie, ale pomimo tego w Warszawie nie ma pałacu cesarskiego.

Matematycznie podchodząc do rzeczy, by pokazać, że zdanie jest fałszywe, wystarczy rozważyć zbiory $X=Y=\emptyset$. Wtedy prawdą jest, że $\forall_{x\in X}\ldots$, bo nie ma żadnego $x\in X$. Ale nie jest prawdą, że $\exists_{y\in Y} W(y)$, bo nie ma żadnego $y\in Y$.

Zadanie 3.

Spośród podanej listy formuł, wybierz te które są zdaniami. Dla pozostałych, uzasadnij dlaczego nie są zdaniami.

1. $\forall_x\exists_y S(x,y)\wedge x\leq y$,
2. $\exists_z\forall_h h\geq t\vee D(z,h)$,
3. $p\leq 0\vee\exists_h 0 < h\wedge h< p$,
4. $\exists_x x\geq y\vee \left(\exists_y W(y)\right)$.

1. Jest zdaniem.
2. Nie jest zdaniem, bo zmienna t nie jest objęta żadnym kwantyfikatorem.
3. Nie jest zdaniem, bo zmienna p nie jest objęta żadnym kwantyfikatorem.
4. Nie jest zdaniem, bo zmienna y w pierwszej części operatora $\vee$, nie jest objęta żadnym kwantyfikatorem.

Zadanie 4.

Jaka jest wartość logiczna zdania $\forall_{x\in\mathbb R}\exists_{y\in\mathbb R} y^2=x$.