Skip to Content

Kwantyfikatory - zadania

Zadanie 1.

Wprowadź odpowiednią notację i zapisz z użyciem kwantyfikatorów zdanie:

Każdy pies ugryzł kiedyś pewnego człowieka.

Wskazówka:
Użyj notacji:

  • P to zbiór wszystkich psów,
  • L to zbiór wszystkich ludzi,
  • U(p,c) to relacja, mówiąca że pies p, ugryzł kiedyś człowieka c.


Rozwiązanie:
Używając notacji ze wskazówki, powyższe zdanie można zapisać następująco:

\(\forall_{p\in P}\exists_{c\in L} U(p,c)\).


Zadanie 2.

Znajdź przykład w języku potocznym dla zdania:

\(\left(\forall_{x\in X}\exists_{y\in Y} W(y)\right)\Rightarrow \exists_{y\in Y} W(y)\).

Czy to zdanie jest prawdziwe, niezależnie od zbiorów X,Y i predykatu W?

Wskazówka:
Zdanie jest fałszywe, trzeba znaleźć na to fajny przykład.


Rozwiązanie:
Rozważmy sytuację, gdy X oznaczać będzie cesarzy mieszkających na stałe w Warszawie, Y oznaczać będzie pałace cesarskie, a W(y) oznaczać będzie, że pałac y położony jest w Warszawie. Wtedy zdanie powyższe mówi:

Jeśli dla każdego cesarza zamieszkałego w Warszawie istnieje pałac cesarski położony w Warszawie, to istnieje jakiś pałac cesarski w Warszawie.

Zdanie jest fałszywe, gdyż prawdą jest założenie, ale pomimo tego w Warszawie nie ma pałacu cesarskiego.

Matematycznie podchodząc do rzeczy, by pokazać, że zdanie jest fałszywe, wystarczy rozważyć zbiory \(X=Y=\emptyset\). Wtedy prawdą jest, że \(\forall_{x\in X}\ldots\), bo nie ma żadnego \(x\in X\). Ale nie jest prawdą, że \(\exists_{y\in Y} W(y)\), bo nie ma żadnego \(y\in Y\).


Zadanie 3.

Spośród podanej listy formuł, wybierz te które są zdaniami. Dla pozostałych, uzasadnij dlaczego nie są zdaniami.

  1. \(\forall_x\exists_y S(x,y)\wedge x\leq y\),
  2. \(\exists_z\forall_h h\geq t\vee D(z,h)\),
  3. \(p\leq 0\vee\exists_h 0 < h\wedge h< p\),
  4. \(\exists_x x\geq y\vee \left(\exists_y W(y)\right)\).

Wskazówka:
Zdanie, to taka formuła w której każda zmienna występuje wewnątrz kwantyfikatora ją obejmującego.


Rozwiązanie:

  1. Jest zdaniem.
  2. Nie jest zdaniem, bo zmienna t nie jest objęta żadnym kwantyfikatorem.
  3. Nie jest zdaniem, bo zmienna p nie jest objęta żadnym kwantyfikatorem.
  4. Nie jest zdaniem, bo zmienna y w pierwszej części operatora \(\vee\), nie jest objęta żadnym kwantyfikatorem.


Zadanie 4.

Jaka jest wartość logiczna zdania \(\forall_{x\in\mathbb R}\exists_{y\in\mathbb R} y^2=x\).

Wskazówka:
Jaki to zdanie ma związek z funkcją \(\sqrt{x}\)?


Rozwiązanie:
To zdanie jest fałszywe. Na przykład, dla x = − 1, fałszywe jest zdanie \(\exists_{y\in\mathbb R} y^2=x\). Wynika to z faktu, że niezależnie od tego jaki weźmiemy \(y\in\mathbb R\), zawsze będzie \(y^2\geq 0 > -1=x\), czyli \(y^2\neq x\).