Zadanie 1.
Wprowadź odpowiednią notację i zapisz z użyciem kwantyfikatorów zdanie:
- Każdy pies ugryzł kiedyś pewnego człowieka.
- P to zbiór wszystkich psów,
- L to zbiór wszystkich ludzi,
- U(p,c) to relacja, mówiąca że pies p, ugryzł kiedyś człowieka c.
- \(\forall_{p\in P}\exists_{c\in L} U(p,c)\).
Zadanie 2.
Znajdź przykład w języku potocznym dla zdania:
- \(\left(\forall_{x\in X}\exists_{y\in Y} W(y)\right)\Rightarrow \exists_{y\in Y} W(y)\).
Czy to zdanie jest prawdziwe, niezależnie od zbiorów X,Y i predykatu W?
- Jeśli dla każdego cesarza zamieszkałego w Warszawie istnieje pałac cesarski położony w Warszawie, to istnieje jakiś pałac cesarski w Warszawie.
Zdanie jest fałszywe, gdyż prawdą jest założenie, ale pomimo tego w Warszawie nie ma pałacu cesarskiego.
Matematycznie podchodząc do rzeczy, by pokazać, że zdanie jest fałszywe, wystarczy rozważyć zbiory \(X=Y=\emptyset\). Wtedy prawdą jest, że \(\forall_{x\in X}\ldots\), bo nie ma żadnego \(x\in X\). Ale nie jest prawdą, że \(\exists_{y\in Y} W(y)\), bo nie ma żadnego \(y\in Y\).
Zadanie 3.
Spośród podanej listy formuł, wybierz te które są zdaniami. Dla pozostałych, uzasadnij dlaczego nie są zdaniami.
- \(\forall_x\exists_y S(x,y)\wedge x\leq y\),
- \(\exists_z\forall_h h\geq t\vee D(z,h)\),
- \(p\leq 0\vee\exists_h 0 < h\wedge h< p\),
- \(\exists_x x\geq y\vee \left(\exists_y W(y)\right)\).
- Jest zdaniem.
- Nie jest zdaniem, bo zmienna t nie jest objęta żadnym kwantyfikatorem.
- Nie jest zdaniem, bo zmienna p nie jest objęta żadnym kwantyfikatorem.
- Nie jest zdaniem, bo zmienna y w pierwszej części operatora \(\vee\), nie jest objęta żadnym kwantyfikatorem.
Zadanie 4.
Jaka jest wartość logiczna zdania \(\forall_{x\in\mathbb R}\exists_{y\in\mathbb R} y^2=x\).