Kolejność kwantyfikatorów

Bardzo częstym błędem w najróżniejszych rozumowaniach jest niepoprawna zamiana kolejności kwantyfikatorów. Rozważmy na przykład zdanie z życia codziennego ,każdy pracownik naszej firmy, pewnego dnia w sierpniu ma urlop'. Gdy pracowników oznaczać będziemy P, dni sierpnia D, a fakt że pracownik p dnia d ma urlop oznaczymy U(p,d), wtedy powyższe zdanie możemy zapisać:

$\forall_{p\in P}\exists_{d\in D} U(p,d)$.

Czy to zdanie oznacza, że któregoś dnia sierpnia nikogo nie ma w firmie? Oczywiście nie! Tzn. gdyby tak się zdarzyło, zdanie to też było by prawdą, ale może być tak że połowa pracowników ma urlop 10'ego, a reszta 17'ego, ale zawsze ktoś nie ma urlopu. Czyli z powyższego zdania wcale nie wynika, że ,pewnego dnia wszyscy mają urlop':

$\exists_{d\in D}\forall_{p\in P}U(p,d)$.

Pisząc formalnie nie jest prawdą implikacja:

$\forall_{p\in P}\exists_{d\in D} U(p,d)\Rightarrow \exists_{d\in D}\forall_{p\in P}U(p,d)$.

W matematyce często jest tak, że dla każdego obiektu (w tym przykładzie dla każdego pracownika) można znaleźć pewien inny obiekt (dzień), że oba obiekty w sumie mają pewną własność. Częstym błędem jest wtedy zamiana kolejności kwantyfikatorów i przyjęcie, że jest jeden obiekt (dzień) wspólny dla wszystkich. Oczywiście czasami może się tak zdarzyć w pewnych konkretnych sytuacjach. Ale w ogólności trzeba na to szczególnie uważać.

Trzeba zaznaczyć, że implikacja w drugą stronę zachodzi:

$\exists_{d\in D}\forall_{p\in P}U(p,d)\Rightarrow \forall_{p\in P}\exists_{d\in D} U(p,d)$,

bo skoro istnieje d spełniające dla każdego, to dla każdego to jedno ustalone d jest dobre.

Formalny zapis wielu własności matematycznych wymaga zapisania wielu następujących po sobie kwantyfikatorów. Na przykład fakt, że funkcja f z liczb rzeczywistych w liczby rzeczywiste jest ciągła, zapisuje się:

$\forall_{x_0\in\mathbb R}\forall_{\delta>0}\exists_{\varepsilon>0}\forall_{x\in\mathbb R}|x-x_0|<\varepsilon\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\delta$.

Nie martw się jeśli nie rozumiesz tego napisu, nie o to chodzi. Chodzi o to, że nawet proste (z punktu widzenia matematyki wyższej) pojęcia, często wymagają wielu, następujących po sobie kwantyfikatorów. Więc łatwo o błąd, gdy zapomni się o odpowiedniej kolejności kwantyfikatorów.

To co można robić bezkarnie, to zamieniać kolejnością takie same kwantyfikatory. Czyli formuła $\forall_x\forall_y\varphi(x,y)$ jest równoważna formule $\forall_y\forall_x\varphi(x,y)$, bo skoro dla wszystkich, to dla wszystkich, niezależnie od tego w jakiej kolejności je wybierzemy. Analogicznie z kwantyfikatorem $\exists$.