Najprostszym przykładem funkcji są tzw. identyczności. Dla każdego zbioru A, zdefiniowana jest funkcja \(I_A:A\to A\) nazywana identycznością na A. Zadana jest ona wzorem f(a) = a, czyli każdemu elementowi \(a\in A\) przypisuje wartość a.
Pomimo swej prostoty, funkcje te są czasami przydatne gdy rozpatruje się równania pomiędzy funkcjami.
Funkcje różnowartościowe - injekcje
Zdefiniowana we wprowadzeniu funkcja f, miała tę własność, że f(0) = f(2) = 6. Innymi słowy, dla dwóch różnych argumentów 0,2, przyjmowała ona tę samą wartość 6. Czyli nie była różnowartościowa. Poniżej znajduje się ścisła definicja:
- Funkcję \(f : A\to B\) nazywamy różnowartościową, jeśli dla każdych \(a_0,a_1\in A\) które są różne (czyli \(a_0\neq a_1\)), zachodzi też \(f(a_0)\neq f(a_1)\).
Intuicyjnie, funkcja różnowartościowa nie przyjmuje żadnej wartości dwa razy.
Możemy teraz ściśle pokazać, że określona w poprzedniej sekcji funkcja f nie jest różnowartościowa. Mianowicie istnieją takie liczby a0 = 0,a1 = 2 które są różne i zachodzi dla nich f(a0) = 6 = f(a1).
Z drugiej strony, dla każdego zbioru A, identyczność na A jest różnowartościowa. Gdy bowiem weźmiemy dowolne \(a_0,a_1\in A\), spełniające \(a_0\neq a_1\), to \(f(a_0)=a_0\neq a_1=f(a_1)\). Czyli przypisane im wartości są różne.
Funkcje różnowartościowe są nazywane injekcjami.
Funkcje na - surjekcje
Można rozpatrzyć inną własność, mówiącą że każdy element przeciwdziedziny \(b\in B\) jest przyjmowany przez funkcję. Ściślej jest to opisane poniżej:
- Funkcję \(f : A\to B\) nazywamy funkcją na, jeśli dla każdego \(b\in B\) istnieje taki element \(a\in A\), że f(a) = b.
Również tej własności nie posiada funkcja f, bo dla \(7\in\{6,7,8\}\) nie ma takiego \(a\in \{0,1,2\}\), że f(a) = 7. Z kolei każda identyczność IA ma tę własność, bo dla każdego \(b\in A\), istnieje a = b, takie że f(a) = a = b.
Funkcje na są nazywane surjekcjami.
Bijekcje
Szczególny rodzaj funkcji to takie, które są jednocześnie różnowartościowe i na. Nazywamy je bijekcjami (lub funkcjami wzajemnie jednoznacznymi). Funkcja taka paruje ze sobą elementy dziedziny i przeciwdziedziny, w taki sposób, że każdy element zostaje sparowany.
Najprostszy przykład to znowu identyczność na dowolnym zbiorze. Funkcja z przykładu f oczywiście nie jest bijekcją. Jednak można znaleźć bijekcję pomiędzy dziedziną f (czyli zbiorem {0,1,2}), a przeciwdziedziną f (czyli zbiorem {6,7,8}. Przykład takiej bijekcji to \(g:\{0,1,2,\}\to\{6,7,8\}\) określona wzorem g(i) = i + 6. Poniżej sprawdzimy, że g jest istotnie bijekcją.
- Pokażemy najpierw, że g jest różnowartościowa. Weźmy dowolne \(a,b\in\{0,1,2\}\), spełniające \(a\neq b\). Wtedy \(g(a)\neq g(b)\), bo \(g(a)=a+6\neq b+6=g(b)\), bo jeśli liczby a,b są różne, to też a + 6,b + 6 są różne.
- Teraz pokażemy, że g jest na. Weźmy dowolne \(b\in \{6,7,8\}\). Rozważmy a = b − 6. Wtedy \(a\in\{0,1,2\}\). I oczywiście g(a) = a + 6 = b.
Czyli pokazaliśmy, że g jest różnowartościowa i na, więc jest bijekcją.
Ponieważ bijekcje stanowią sparowanie elementów dziedziny i przeciwdziedziny, można udowodnić, że jeśli dla danych zbiorów A,B istnieje bijekcja \(f:A\to B\), to moce A,B muszą być równe. Czyli zamiast liczyć elementy jakiegoś zbioru, można znaleźć bijekcję pomiędzy tym zbiorem, a jakimś zbiorem którego moc znamy.
Okazuje się, że powyższą uwagę można użyć do radzenia sobie z pojęciem mocy dla zbiorów nieskończonych.