Okazuje się, że operacje na zbiorach, jak \(\cup, \cap, \setminus\) mają ścisły związek z operacjami rachunku zdań \(\vee,\wedge,\lnot\). Rozważmy sytuację, gdy ustalony jest jakiś duży zbiór X. Dane są też dwa podzbiory X, definiowane poprzez selekcję:
- \(A=\{x\in X:\varphi(x)\}\) - zbiór tych elementów x, które spełniają pewną formułę \(\varphi(x)\),
- \(B=\{x\in X:\psi(x)\}\) - analogicznie, tylko ψ(x).
Zachodzą wtedy równości:
- \(A\cup B=\{x\in X:\varphi(x)\vee \psi(x)\}\) - suma A i B to te elementy X które spełniają którąś z formuł,
- \(A\cap B=\{x\in X:\varphi(x)\wedge \psi(x)\}\) - przecięcie A i B to te elementy X które spełniają obie formuły,
- \(X\setminus A=\{x\in X:\lnot\varphi(x)\}\) - elementy które są w X, ale nie są w A to dokładnie te elementy X dla których fałszywe jest \(\varphi(x)\).
Czyli operacje logiczne na formułach przekładają się na odpowiednie operacje na zbiorach przez nie definiowanych.
Po pierwsze, powyższe zasady tłumaczą podobieństwo odpowiednich znaczków (na przykład \(\cap\) i \(\wedge\)). Ale są też inne ważne konsekwencje tych równości. Między innymi, w oparciu o te spostrzeżenia zdefiniować można tzw. Algebry Boole'a - ważne, abstrakcyjne pojęcie badane w teorii mnogości i topologii.
Liczby jako zbiory
Przytoczmy najpierw znane powiedzenie Leopolda Kroneckera:
- Liczby naturalne stworzył Pan Bóg, a reszta jest dziełem człowieka.
Okazuje się, że takie założenie powoduje różnorakie trudności, opisane w dziale Logika współczesna. Aby uniknąć takich problemów John von Neumann skonstruował zbiory, które udają dane od Pana Boga liczby naturalne. Idea jest bardzo prosta:
Rozważymy zbiory pewnej szczególnej postaci. Pierwszy z nich to będzie \(\emptyset\). Kolejne będą powstawać z poprzednich poprzez operację która zmienia zbiór A w \(A\cup\{A\}\). Pierwszych kilka zbiorów powstałych w taki sposób, to:
- \(\emptyset\),
- \(\{\emptyset\}\),
- \(\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\),
- \(\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}\),
- \(\ldots\).
W ten sposób możemy zdefiniować całą nieskończoną listę zbiorów. Teraz potraktujemy zbiory z tej listy jako liczby. Czyli zamiast myśleć o danej od Pana Boga liczbie 172, myśleć będziemy o odpowiednim, konkretnym zbiorze z tej listy. Innymi słowy powiemy, że zbiór pusty to nasze 0, zbiór \(\{\emptyset\}\) to 1 i tak dalej.
Wtedy na przykład \(n\leq m\) wtedy i tylko wtedy gdy \(n\subseteq m\) jako zbiory. Kolejny krok to operacje + , − , * , które trzeba określić na zbiorach z powyższej listy. Okazuje się, że można to zrobić, wcale nie odwołując się do liczb. Odpowiednia technika to indukcja matematyczna.
Po tych wszystkich operacjach, otrzymujemy konkretny zbiór:
- \(\mathbb N=\left\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\},\ldots\right\}\),
którego jego elementy traktujemy jako liczby naturalne. Umiemy je porównywać, dodawać, odejmować, mnożyć. Więc co z tego, że wyglądają tak dziwacznie, nie przejmujemy się, tylko nazywamy je liczbami.
Konstrukcja ta jest dość techniczna i niektórym może się nie podobać. Ale osiąga swój cel: zamiast korzystać z jakiś liczb, które nie wiadomo skąd się wzięły i czym tak naprawdę są, mamy bardzo konkretne obiekty stworzone własnoręcznie, które zachowują się tak jak liczby naturalne.
Dalsze kroki to konstrukcja liczb całkowitych, wymiernych i wreszcie rzeczywistych. Tutaj znowu postępujemy podobnie i znowu dostajemy konkretne zbiory. Na przykład liczby całkowite powstają poprzez dopisanie do niezerowych liczb naturalnych znaku: plusa lub minusa. Oczywiście znaki też trzeba skonstruować, na przykład tak:
- plus to będzie \(\{\{\emptyset\}\}\),
- minus to będzie \(\{\{\{\emptyset\}\}\} \).
Chodzi tak naprawdę tylko o to by plus był różny od minusa. Jak przeprowadzić całą tę konstrukcję, korzystając z operacji iloczynu i sumy, pozostawiam jako ćwiczenie.