Grześ wybrał się na długą wędrówkę. W jedną stronę szedł 3 godziny i 3 godziny jechał na rowerze. W drodze powrotnej godzinę jechał na rowerze i 11 godzin szedł. Ile razy szybciej jechał na rowerze niż szedł?
A. Rozwiązanie bez równań.
Przyjmijmy, że Grześ najpierw szedł 3 godziny, a potem jechał następne 3 godziny. Możemy to narysować w następujący sposób (cienka linia oznacza drogę przebytą pieszo, gruba drogę przebytą na rowerze, grube kropki oznaczają odcinki przebyte w ciągu godziny):
Punkt A oznacza miejsce, z którego Grześ wyruszył. W punkcie B wsiadł na rower i dojechał do punktu D. W drodze powrotnej najpierw jechał rowerem z punktu D do punktu C, a potem szedł pieszo do A. Oto droga powrotna.
Zauważmy, że w jedną stronę z punktu B do C jechał 2 godziny, a z powrotem z C do B szedł 8 godzin. Zatem jechał 4 razy szybciej, niż szedł.
B. Rozwiązanie za pomocą równania.
Jak za chwilę zobaczymy, w tym zadaniu naturalne jest przyjęcie dwóch niewiadomych, ale mamy tylko jeden warunek pozwalający ułożyć równanie. Wydaje się więc, że zadanie nie ma rozwiązania, bo mamy za mało warunków.
B1. Jednak spróbujmy:
-
-
x prędkość pieszo, y prędkość na rowerze, 3x droga "tam" przebyta pieszo, 3y droga "tam" przebyta na rowerze, 11x droga "z powrotem" przebyta pieszo, y droga "z powrotem" przebyta na rowerze.
-
Mamy zatem równanie
3x + 3y = 11x + y,
czyli
2y = 8x.
Stąd y = 4x , czyli Grześ jechał na rowerze 4 razy szybciej niż szedł. Okazuje się, że mamy za mało warunków, by znaleźć obie prędkości, ale wystarczająco dużo, by znaleźć ich stosunek.
B2. W tym zadaniu można inaczej dobrać niewiadome. Będą to niewiadome v i x, przy czym istotną dla nas niewiadomą jest x:
-
-
v prędkość pieszo, xv prędkość na rowerze, 3v droga "tam" przebyta pieszo, 3xv droga "tam" przebyta na rowerze, 11v droga "z powrotem" przebyta pieszo, xv droga "z powrotem" przebyta na rowerze.
-
Mamy zatem równanie
-
- 3v + 3xv = 11v + xv,
czyli po podzieleniu obu stron przez v :
-
- 3 + 3x = 11 + x.
Zatem
-
- 2x = 8,
czyli x = 4 . To znaczy, że Grześ jechał 4 razy szybciej.
Jak widać, tu niewiadomą x jest właśnie szukany stosunek prędkości.
Komentarz dla nauczyciela
Proszę zwrócić uwagę na dwa słowa, od których zaczyna się rozwiązanie sposobem B1: Jednak spróbujmy. Na to, że warto próbować, nie będąc pewnym ostatecznego efektu, też warto zwracać uczniom uwagę. Kto w ogóle nie próbuje, ten na pewno zadania nie rozwiąże.