Skip to Content

Zadanie 11. Nieznana liczba

Pierwszą cyfrą liczby trzycyfrowej n jest 7. Po przeniesieniu tej cyfry z pierwszego na trzecie miejsce otrzymujemy liczbę trzycyfrową o 162 mniejszą. Znajdź liczbę n.


A. Rozwiązanie bez równań.

Po przeniesieniu siódemki na koniec i dodaniu 162 otrzymamy liczbę zakończoną cyfrą 9. Ponieważ drugą cyfrą nie może być 0 (po przeniesieniu siódemki otrzymujemy liczbę trzycyfrową), więc mamy 9 liczb do sprawdzenia:

719 - 197 = 522,
729 - 297 = 432,
739 - 397 = 342,
749 - 497 = 252,
759 - 597 = 162,
769 - 697 = 72,
779 - 797 = -18,
789 - 897 = -108,
799 - 997 = -198.

Szukaną liczbą jest więc n = 759. Oczywiście, gdybyśmy nie zauważyli, że ostatnią cyfrą jest 9, to mielibyśmy do sprawdzenia 90 liczb. To też daje się zrobić.


B. Rozwiązania za pomocą równań.

Oznaczmy literami a i b drugą i trzecią cyfrę liczby n. Mamy wtedy równanie

700 + 10a + b = 100a + 10b + 7 + 162.

To równanie można rozwiązywać wieloma sposobami. Najprościej tak:

90a + 9b = 700 − 169,
90a + 9b = 531,
10a + b = 59.

Ponieważ a i b są cyframi (a więc \(0 \le a,b \le 9\)), więc a = 5 i b = 9. To wynika z jednoznaczności zapisu liczby w systemie dziesiętnym. Naszą liczbą jest więc 759.

Możemy również wprowadzić nową niewiadomą x = 10a + b. Otrzymujemy wtedy równanie

700 + x = 10x + 7 + 162,
którego rozwiązaniem jest x = 59. Możemy także od razu zapisać naszą liczbę w postaci 700 + x (gdzie \(0 \le x \le 99\)). Po przestawieniu siódemki na koniec, otrzymamy liczbę 10x + 7, co od razu daje równanie 
700 + x = 10x + 7 + 162.