Pierwszą cyfrą liczby trzycyfrowej n jest 7. Po przeniesieniu tej cyfry z pierwszego na trzecie miejsce otrzymujemy liczbę trzycyfrową o 162 mniejszą. Znajdź liczbę n.
A. Rozwiązanie bez równań.
Po przeniesieniu siódemki na koniec i dodaniu 162 otrzymamy liczbę zakończoną cyfrą 9. Ponieważ drugą cyfrą nie może być 0 (po przeniesieniu siódemki otrzymujemy liczbę trzycyfrową), więc mamy 9 liczb do sprawdzenia:
-
- 719 - 197 = 522,
- 729 - 297 = 432,
- 739 - 397 = 342,
- 749 - 497 = 252,
- 759 - 597 = 162,
- 769 - 697 = 72,
- 779 - 797 = -18,
- 789 - 897 = -108,
- 799 - 997 = -198.
- 719 - 197 = 522,
Szukaną liczbą jest więc n = 759. Oczywiście, gdybyśmy nie zauważyli, że ostatnią cyfrą jest 9, to mielibyśmy do sprawdzenia 90 liczb. To też daje się zrobić.
B. Rozwiązania za pomocą równań.
Oznaczmy literami a i b drugą i trzecią cyfrę liczby n. Mamy wtedy równanie
-
- 700 + 10a + b = 100a + 10b + 7 + 162.
To równanie można rozwiązywać wieloma sposobami. Najprościej tak:
-
- 90a + 9b = 700 − 169,
- 90a + 9b = 531,
- 10a + b = 59.
- 90a + 9b = 700 − 169,
Ponieważ a i b są cyframi (a więc \(0 \le a,b \le 9\)), więc a = 5 i b = 9. To wynika z jednoznaczności zapisu liczby w systemie dziesiętnym. Naszą liczbą jest więc 759.
Możemy również wprowadzić nową niewiadomą x = 10a + b. Otrzymujemy wtedy równanie
-
- 700 + x = 10x + 7 + 162,
którego rozwiązaniem jest x = 59. Możemy także od razu zapisać naszą liczbę w postaci 700 + x (gdzie \(0 \le x \le 99\)). Po przestawieniu siódemki na koniec, otrzymamy liczbę 10x + 7, co od razu daje równanie
-
- 700 + x = 10x + 7 + 162.