Zadanie 9. Dwa samochody

O godzinie 12:00 (w południe) dwa samochody jadące ze stałymi prędkościami minęły punkt A. Na dojechanie do punktu B pierwszy samochód potrzebuje 5 godzin, a drugi 4 godzin. O której godzinie pierwszy samochód znajdował się 4 razy dalej od punktu B niż drugi samochód?

A. Rozwiązanie bez równań.

Znów zaczniemy od rozwiązania graficznego. Po jakimś czasie pierwszy samochód był w punkcie C, a drugi w punkcie D. Odcinek CB jest 4 razy dłuższy od odcinka DB:

Porównajmy następnie prędkości obu samochodów. Nie znamy odległości AB; nie jest ona jednak istotna dla rozwiązania. Przyjmijmy, że jest ona równa jednostce. Pierwszy samochód jedzie zatem z prędkością $\frac{1 }{ 5}$ (jednostek na godzinę), drugi z prędkością $\frac{1 }{ 4}$ (jednostek na godzinę). Ponieważ

$\frac{1 }{ 5} = \frac{4 }{ 5} \cdot \frac{1 }{ 4},$

więc prędkość pierwszego samochodu jest równa czterem piątym prędkości drugiego samochodu. A to oznacza, że w tym samym czasie pierwszy samochód przejedzie $\frac{4 }{ 5}$ tej drogi, jaką przejedzie drugi. Zatem

$AC = \frac{4 }{ 5} \cdot AD,$

skąd wynika, że

$CD = \frac{1 }{ 5} \cdot AD.$

Ponieważ $CD = 3 \cdot DB$, więc $AD = 15 \cdot DB$, czyli

$AD = \frac{15 }{ 16} \cdot AB.$

Drugi samochód przejechał zatem $\frac{15 }{ 16}$ swojej drogi, a więc zajęło mu to $\frac{15 }{ 16}$ czasu przeznaczonego na całą drogę. Minęło zatem

$\frac{15 }{ 16} \cdot 4 = \frac{15 }{ 4}$

godziny. Opisana w zadaniu sytuacja miała więc miejsce o godzinie 15⁴⁵ .

B. Równanie z jedną niewiadomą.

Podobnie jak w rozwiązaniu poprzednim przyjmiemy, że odległość z A do B jest równa jednostce. Wtedy prędkości obu samochodów są równe odpowiednio $\frac{1 }{ 5}$ i $\frac{1 }{ 4}$ (jednostek na godzinę). Przyjmiemy niewiadomą t oznaczającą czas, który upłynął od godziny 12⁰⁰ do chwili opisanej w zadaniu. Mamy wówczas:

t	czas jazdy obu samochodów,
$\frac{1}{5}\cdot t$	droga przebyta przez pierwszy samochód,
$\frac{1}{4}\cdot t$	droga przebyta przez drugi samochód, 1 - ·t
$1-\frac {1}{5}\cdot t$	odległość pierwszego samochodu od B
$1-\frac {1}{4}\cdot t$	odległość drugiego samochodu od B .

Mamy zatem równanie

$\textstyle 1 - \frac{1 }{ 5} \cdot t = 4 \cdot \left(1 - \frac{1 }{ 4} \cdot t \right),$

którego rozwiązaniem jest $t = \frac{15 }{ 4} = 3\frac{3 }{ 4}$.

Wariant, którego nie należy się obawiać

Możemy oczywiście nie przyjmować odległości AB za jednostkę, ale oznaczyć tę odległość literą s . Prędkości obu samochodów są wtedy równe $\frac{s }{ 5}$ i $\frac{s }{ 4}$.

Oto dalsze szczegóły tego wariantu rozwiązania:

t	czas jazdy obu samochodów,
$\frac{s}{5}\cdot t$	droga przebyta przez pierwszy samochód,
$\frac{s}{4}\cdot t$	droga przebyta przez drugi samochód, 1 - ·t
$s-\frac {s}{5}\cdot t$	odległość pierwszego samochodu od B
$s-\frac {s}{4}\cdot t$	odległość drugiego samochodu od B .

Mamy teraz równanie

$\textstyle s - \frac{s }{ 5} \cdot t = 4 \cdot \left(s - \frac{s }{ 4} \cdot t \right),$

które po podzieleniu obu stron przez s doprowadzamy do postaci

$\textstyle 1 - \frac{1 }{ 5} \cdot t = 4 \cdot \left(1 - \frac{1 }{ 4} \cdot t \right).$

Wiemy już, dzięki pierwszemu rozumowaniu(patrz wyżej), że jego rozwiązaniem jest $t = \frac{15 }{ 4} = 3\frac{3 }{ 4}$ .

Uwaga. Wprowadzenie dodatkowej niewiadomej, takiej jak s w tym zadaniu, jest często stosowaną praktyką przy układaniu równań. W pierwszej chwili wydaje się, że brakuje warunków potrzebnych do ułożenia większej liczby równań i otrzymujemy równanie z dwiema niewiadomymi lub układ dwóch równań z trzema niewiadomymi. Warto jednak zachować spokój: często bowiem zadanie jest tak ułożone, że jednej niewiadomej można się pozbyć. Tak właśnie było w tym zadaniu; podzielenie obu stron równania przez s eliminowało tę niepotrzebną niewiadomą.