Zadanie 9. Dwa samochody

O godzinie 12:00 (w południe) dwa samochody jadące ze stałymi prędkościami minęły punkt A. Na dojechanie do punktu B pierwszy samochód potrzebuje 5 godzin, a drugi 4 godzin. O której godzinie pierwszy samochód znajdował się 4 razy dalej od punktu B niż drugi samochód?

A. Rozwiązanie bez równań.

Znów zaczniemy od rozwiązania graficznego. Po jakimś czasie pierwszy samochód był w punkcie C, a drugi w punkcie D. Odcinek CB jest 4 razy dłuższy od odcinka DB:

Porównajmy następnie prędkości obu samochodów. Nie znamy odległości AB; nie jest ona jednak istotna dla rozwiązania. Przyjmijmy, że jest ona równa jednostce. Pierwszy samochód jedzie zatem z prędkością \(\frac{1 }{ 5}\) (jednostek na godzinę), drugi z prędkością \(\frac{1 }{ 4}\) (jednostek na godzinę). Ponieważ

\( \frac{1 }{ 5} = \frac{4 }{ 5} \cdot \frac{1 }{ 4}, \)

więc prędkość pierwszego samochodu jest równa czterem piątym prędkości drugiego samochodu. A to oznacza, że w tym samym czasie pierwszy samochód przejedzie \(\frac{4 }{ 5}\) tej drogi, jaką przejedzie drugi. Zatem

\( AC = \frac{4 }{ 5} \cdot AD, \)

skąd wynika, że

\( CD = \frac{1 }{ 5} \cdot AD. \)

Ponieważ \(CD = 3 \cdot DB\), więc \(AD = 15 \cdot DB\), czyli

\( AD = \frac{15 }{ 16} \cdot AB. \)

Drugi samochód przejechał zatem \(\frac{15 }{ 16}\) swojej drogi, a więc zajęło mu to \(\frac{15 }{ 16}\) czasu przeznaczonego na całą drogę. Minęło zatem

\( \frac{15 }{ 16} \cdot 4 = \frac{15 }{ 4}\)

godziny. Opisana w zadaniu sytuacja miała więc miejsce o godzinie 15⁴⁵ .

B. Równanie z jedną niewiadomą.

Podobnie jak w rozwiązaniu poprzednim przyjmiemy, że odległość z A do B jest równa jednostce. Wtedy prędkości obu samochodów są równe odpowiednio \(\frac{1 }{ 5}\) i \(\frac{1 }{ 4}\) (jednostek na godzinę). Przyjmiemy niewiadomą t oznaczającą czas, który upłynął od godziny 12⁰⁰ do chwili opisanej w zadaniu. Mamy wówczas:

t	czas jazdy obu samochodów,
\(\frac{1}{5}\cdot t\)	droga przebyta przez pierwszy samochód,
\(\frac{1}{4}\cdot t \)	droga przebyta przez drugi samochód, 1 - ·t
\(1-\frac {1}{5}\cdot t\)	odległość pierwszego samochodu od B
\(1-\frac {1}{4}\cdot t\)	odległość drugiego samochodu od B .

Mamy zatem równanie

\(\textstyle 1 - \frac{1 }{ 5} \cdot t = 4 \cdot \left(1 - \frac{1 }{ 4} \cdot t \right),\)

którego rozwiązaniem jest \(t = \frac{15 }{ 4} = 3\frac{3 }{ 4}\).

Wariant, którego nie należy się obawiać

Możemy oczywiście nie przyjmować odległości AB za jednostkę, ale oznaczyć tę odległość literą s . Prędkości obu samochodów są wtedy równe \(\frac{s }{ 5}\) i \(\frac{s }{ 4}\).

Oto dalsze szczegóły tego wariantu rozwiązania:

t	czas jazdy obu samochodów,
\(\frac{s}{5}\cdot t\)	droga przebyta przez pierwszy samochód,
\(\frac{s}{4}\cdot t \)	droga przebyta przez drugi samochód, 1 - ·t
\(s-\frac {s}{5}\cdot t\)	odległość pierwszego samochodu od B
\(s-\frac {s}{4}\cdot t\)	odległość drugiego samochodu od B .

Mamy teraz równanie

\(\textstyle s - \frac{s }{ 5} \cdot t = 4 \cdot \left(s - \frac{s }{ 4} \cdot t \right),\)

które po podzieleniu obu stron przez s doprowadzamy do postaci

\(\textstyle 1 - \frac{1 }{ 5} \cdot t = 4 \cdot \left(1 - \frac{1 }{ 4} \cdot t \right).\)

Wiemy już, dzięki pierwszemu rozumowaniu(patrz wyżej), że jego rozwiązaniem jest \(t = \frac{15 }{ 4} = 3\frac{3 }{ 4}\) .

Uwaga. Wprowadzenie dodatkowej niewiadomej, takiej jak s w tym zadaniu, jest często stosowaną praktyką przy układaniu równań. W pierwszej chwili wydaje się, że brakuje warunków potrzebnych do ułożenia większej liczby równań i otrzymujemy równanie z dwiema niewiadomymi lub układ dwóch równań z trzema niewiadomymi. Warto jednak zachować spokój: często bowiem zadanie jest tak ułożone, że jednej niewiadomej można się pozbyć. Tak właśnie było w tym zadaniu; podzielenie obu stron równania przez s eliminowało tę niepotrzebną niewiadomą.