Interludium: Problem jednoznaczności rozwiązań

W prawie wszystkich omawianych wyżej zadaniach pokazywałem rozwiązania różnymi wariantami metody prób i błędów. Rozróżniałem przy tym metodą przeszukiwania (polegającą na podążaniu do rozwiązania na ogół z jednej strony, bez wyciągania wniosków z monotoniczności otrzymywanych wyników) i metodę kolejnych przybliżeń (polegającą na zbliżaniu się do wyniku na ogół z obu stron, z uwzględnieniem dostrzeganej monotoniczności, która wskazywała właściwy kierunek poszukiwania rozwiązania). Przy omawianiu sposobów rozwiązywania zadania 2 wskazałem dwa najważniejsze – moim zdaniem – problemy związane ze stosowaniem takich metod.

Pierwszy dotyczył w zasadzie celów nauczania: czy warto takie metody pokazywać, czy należy akceptować takie sposoby rozwiązania zadania przez ucznia, czy raczej należy od razu uczyć metod skutecznych we wszystkich przypadkach (lub co najmniej w większości). Z tym pierwszym problemem wiąże się też kwestia skuteczności. Metoda prób i błędów często zawodzi; uczeń nie znajduje rozwiązania wtedy, gdy ma ono postać nieoczywistą dla niego (jest ono skomplikowanym ułamkiem lub, co się zdarza w zadaniach na poziomie licealnym, liczbą niewymierną).

Drugi problem dotyczył samej matematyki był związany z kwestią jednoznaczności rozwiązania. Uczeń znajdował na ogół jedno rozwiązanie, nie uzasadniając, że nie istnieją inne. Kwestia poprawności takiego rozwiązania jest już kwestią matematyczną.

Spróbuję tu przedstawić krótko moje poglądy na obie kwestie. Jeśli chodzi o pierwszą, to należy przede wszystkim zauważyć, że problem dotyczy uczniów gimnazjum, przede wszystkim na początku I klasy. Uważam, że dla ucznia w tym wieku przedstawienie jakiegokolwiek rozumowania prowadzącego do wyniku jest już dużym osiągnięciem i świadczy o zdolności do rozumowania uporządkowanego. Tę umiejętność należy u ucznia dostrzec, pielęgnować i rozwijać. Schematyzm algebraiczny na ogół nie prowadzi do rozwijania umiejętności myślenia i poprawnego wyrażania swoich rozumowań. Dlatego zdecydowanie popieram uczenie metod niealgebraicznych, o których dużo napisałem wyżej. Jak też wspomniałem, rozwiązywanie zadań metodami niealgebraicznymi przed algebraicznymi, uczy odnajdywania w treści zadania informacji istotnych. Ta umiejętność bardzo się przyda przy układaniu równań do zadań tekstowych.

Jeśli chodzi o drugi problem, to trzeba zauważyć dwie rzeczy. Po pierwsze, uczeń na początku gimnazjum nie jest świadomy tego, że zadanie może mieć wiele rozwiązań i że naszym obowiązkiem jest znaleźć wszystkie. Tego dopiero musimy go nauczyć. Dlatego w tej fazie rozwoju matematycznego należy uznać rozwiązanie za całkowicie poprawne. Dopiero w trakcie dalszej nauki (może już w gimnazjum, ale raczej dopiero w liceum) uczeń pozna zadania mające wiele rozwiązań. Wtedy też należy mu powiedzieć, że zasadą przyjmowaną w większości zadań matematycznych jest to, iż mamy znaleźć wszystkie rozwiązania. Ale musimy też być świadomi tego, że w wielu zadaniach wystarczy znaleźć jedno rozwiązanie.

Następnie, należy zauważyć, że w wielu zadaniach jednoznaczność rozwiązania jest oczywista. W zadaniu o królikach i bażantach było oczywiste, że im więcej mamy królików, tym więcej jest wszystkich nóg, a więc jest możliwa tylko jedna liczba królików (i, co za tym idzie, liczba bażantów), przy której liczba głów i nóg będzie się zgadzać. W którymś momencie warto o tym powiedzieć. Świetną okazją jest na przykład omawianie własności funkcji liniowej: można obliczyć liczbę nóg wszystkich zwierząt i zauważyć, że jest ona funkcją liniową liczby królików. W naszym zadaniu jest to funkcja określona wzorem

f(x) = 4x + 2(35 − x),

czyli

f(x) = 2x + 70,

gdzie x jest liczbą królików (i należy do zbioru \(\{ 0,1,2,\ldots ,35\}\) ). Ta funkcja jest rosnąca, a więc każde równanie postaci f(x) = m ma co najwyżej jedno rozwiązanie. To samo można zrobić w przypadku innych zadań omawianych wyżej.

Wreszcie chcę zauważyć, że te metody są znanymi metodami matematycznymi, stosowanymi powszechnie przy znajdowaniu rozwiązań przybliżonych bardziej skomplikowanych równań. Zapoznanie ucznia z takimi metodami, zwłaszcza wtedy, gdy on sam je odkryje, jest niezwykle cenne.

Problem jednak pozostaje, gdy mamy do czynienia z uczniami liceum. Rozwiązania metodą odgadywania, poszukiwania, kolejnych przybliżeń itp. zdarzają się również na maturze. Wtedy jednak może się okazać, że zadanie ma wiele rozwiązań. Może się też okazać, że wprawdzie zadanie ma tylko jedno rozwiązanie, ale nie jest oczywiste, że tak jest. Omówię ten problem na przykładzie dwóch zadań. Pierwsze z nich jest autentycznym zadaniem maturalnym, drugie jest jego (pozornie) niewielką modyfikacją.

Oto pierwsze zadanie