Zadanie 12. Prędkość średnia (matura 2007).

Samochód przebył w pewnym czasie 210 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością o 10 km/h większą, to czas przejazdu skróciłby się o pół godziny. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten samochód.

Rozwiązanie.

Pokażę jeden sposób rozwiązania, polegający na ułożeniu układu równań z dwiema niewiadomymi. Wprawdzie żadne z tych równań nie jest liniowe, ale układ łatwo sprowadza się do równania kwadratowego.

Przyjmijmy dwie niewiadome v i t oznaczające odpowiednio prędkość samochodu i czas jazdy. Będziemy rozważać dwie sytuacje: rzeczywistą (opisaną w zadaniu jako tę, która się wydarzyła) i "domniemaną" (opisaną w zadaniu jako tę, która mogła się wydarzyć). Każda z nich daje jeden warunek; te warunki zapiszemy w postaci równań. Mamy zatem:

v	prędkość samochodu (w km/h) w sytuacji rzeczywistej,
t	czas jazdy samochodu (w godzinach) w sytuacji rzeczywistej,
v + 10	prędkość samochodu w sytuacji "domniemanej",
\(t-\frac 12\)	czas jazdy samochodu w sytuacji "domniemanej".

Mamy zatem układ równań:

vt = 210

\((v+10)(t-\frac{1}{2}) = 210\)

Przekształcamy ten układ:

vt = 210

\(vt -\frac{v}{2} + 10t - 5 = 210\)

Podstawiając vt = 210 do drugiego równania, otrzymujemy równanie liniowe

\( 210 - \frac{v }{ 2} + 10t - 5 = 210, \)

czyli

v = 20t − 10.

Podstawiając teraz obliczoną wartość v do pierwszego równania, otrzymamy równanie kwadratowe z niewiadomą t:

(20t − 10)t = 210,

20t² − 10t − 210 = 0,

2t² − t − 21 = 0.

To równanie ma dwa rozwiązania:

\( t_1 = -3 \quad \mbox{oraz}\quad t_2 = 3{,}5. \)

Oczywiście tylko rozwiązanie dodatnie, t = 3,5, ma sens fizyczny. Stąd otrzymujemy

\( v = \frac{210 }{ t} = \frac{210 }{ 3{,}5} = \frac{420 }{ 7} = 60. \)

Nietrudno sprawdzić, że rzeczywiście prędkość v = 60 km/h spełnia warunki zadania. Nasze zadanie ma więc jedno rozwiązanie: samochód jechał z prędkością 60 km/h.

Komentarz: jednoznaczność rozwiązań

Wielu maturzystów rozwiązywało to zadanie metodą prób i błędów, dość szybko znajdując rozwiązanie. Spróbujmy zatem zastanowić się: czy zawsze podobne zadanie ma (tylko) jedno rozwiązanie?

Przypuśćmy, że samochód jedzie z prędkością v km//h. Wtedy czas jazdy będzie równy \(t_1 = \frac{210 }{ v}\). Następnie rozważamy sytuację domniemaną: samochód jedzie z prędkością (v + 10) km/h. Czas jazdy wynosi tym razem \(t_2 = \frac{210 }{ v+10}\). Czas zaoszczędzony wynosi zatem

\( \Delta t = t_1 - t_2 = \frac{210 }{ v} - \frac{210 }{ v+10} = \frac{2100 }{ v(v+10)}. \)

Oczywiście funkcja f określona dla v > 0 wzorem

\( f(v) = \frac{2100 }{ v(v+10)} \)

jest monotoniczna (malejąca). Ponadto

\(\displaystyle{ \lim _{v \to 0+}f(v) = +\infty \quad \mbox{oraz} \quad \lim _{v \to \infty }f(v) = 0.} \)

Zatem dla każdej liczby t₀ > 0 istnieje dokładnie jedna wartość v taka, że f(v) = t₀. To, wraz z monotonicznością funkcji f, pokazuje, że znalezienie v jest możliwe metodą kolejnych przybliżeń.

Podobnie będzie dla zadania ogólnego:

Wersja ogólna: Zadanie 12a.

Samochód przebył w pewnym czasie drogę s, jadąc ze stałą prędkością v. Gdyby jechał ze średnią prędkością v + w (gdzie w > 0), to czas przejazdu skróciłby się o czas t₀. Oblicz prędkość v.

W tym przypadku nasza funkcja f ma postać

\( f(v) = \frac{s \cdot w }{ v(v+w)} \)

dla v > 0. Także w ogólnym przypadku funkcja f jest malejąca i ma te same granice w zerze i nieskończoności, co funkcja w poprzednim zadaniu. Dla każdego t₀ > 0 równanie f(v) = t₀ ma dokładnie jedno roziązanie.

A więc, jeśli zadanie ma dla konkretnych danych s,w i t₀ rozwiązanie wystarczająco prostej postaci (np. całkowitoliczbowe), to znalezienie tego rozwiązania będzie możliwe metodą kolejnych przybliżeń (tzn. systematyczną metodą prób i błędów).

Trudno teraz przeanalizować zadanie oryginalne, bo jego rozwiązanie jest "nazbyt eleganckie": prędkość 60 km/h jest zbyt łatwa do zgadnięcia. Weźmy zadanie nieco zmienione:

Jeszcze jedna wersja: Zadanie 12b.

Samochód przebył w pewnym czasie 504 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością o 12 km/h większą, to czas przejazdu skróciłby się o godzinę. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten samochód.

A. Rozwiązanie metodą prób i błędów.

Spróbujmy kilku przykładowych prędkości (prędkości w km/h, czas w godzinach z zaokrągleniem do dwóch miejsc po przecinku):

Prędkość \(\,\, {}\)	Czas jazdy \(\quad \)	Prędkość + 12	Czas jazdy \(\quad \)	Różnica
50	10,08	62	8,13	1,95
60	8,40	72	7,00	1,40
70	7,20	82	6,15	1,05
80	6,30	92	5,48	0,82
90	5,60	102	4,94	0,66

Widzimy, że różnica czasu maleje i możemy wnioskować, że poszukiwana prędkość znajduje się w przedziale \(\langle 70,80 \rangle\). Próbujemy kilku następnych prędkości:

Prędkość \(\,\, {}\)	Czas jazdy \(\quad \)	Prędkość + 12	Czas jazdy \(\quad \)	Różnica
70	7,20	82	6,15	1,05
80	6,30	92	5,48	0,82
75	6,72	87	5,79	0,93
73	6,90	85	5,93	0,97
72	7,00	84	6,00	1,00

Ostatnie znalezione wartości są dokładne i to jest rozwiązanie zadania. My wiemy przy tym, że jest to jedyne rozwiązanie.

Układ równań

Możemy oczywiście rozwiązać to zadanie tak jak poprzednie. Znów przyjmujemy dwie niewiadome v i t:

v	prędkość samochodu (w km/h) w sytuacji rzeczywistej,
t	czas jazdy samochodu (w godzinach) w sytuacji rzeczywistej,
v + 12	prędkość samochodu w sytuacji "domniemanej",
t − 1	czas jazdy samochodu w sytuacji "domniemanej".

Mamy zatem układ równań:

vt = 504

(v + 12)(t − 1) = 504

Po nietrudnych przekształceniach wyprowadzimy stąd równanie kwadratowe, które musi spełniać czas t. Oto szczegóły:

vt = 504

vt − v + 12t − 12 = 504

Podstawiając vt = 504 do drugiego równania, otrzymujemy równanie liniowe

504 − v + 12t − 12 = 504,

czyli

v = 12t − 12.

Podstawiając teraz obliczoną wartość v do pierwszego równania, otrzymamy równanie kwadratowe z niewiadomą t:</math>

(12t − 12)t = 504,

12t² − 12t − 504 = 0,

t² − t − 42 = 0,

(t − 7)(t + 6) = 0.

To równanie ma dwa rozwiązania:

\( t_1 = -6 \quad \mbox{oraz}\quad t_2 = 7. \)

Oczywiście tylko rozwiązanie t = 7 ma sens fizyczny. Stąd otrzymujemy

\( v = \frac{504 }{ t} = \frac{504 }{ 7} = 72. \)

Nietrudno sprawdzić, że rzeczywiście prędkość v = 72 km/h spełnia warunki zadania. Nasze zadanie ma więc jedno rozwiązanie: samochód jechał z prędkością 72 km/h.

Komentarz.

Oczywiście nie wymagałbym od ucznia gimnazjum przeprowadzenia powyższej analizy. Chcę jednak podkreślić, że zadanie ma tylko jedno rozwiązanie i – tak jak w kilku poprzednich zadaniach – istnieje monotoniczna zależność między poszukiwaną prędkością, a pewną daną, którą można łatwo obliczyć z tej prędkości. Monotoniczność, którą uczeń łatwo zauważa, pozwala – jak wspomniałem wyżej – na systematyzowanie poszukiwań. Jeśli zadanie ma rozwiązanie prostej postaci, to tą metodą może ono być znalezione. Należy także zauważyć, że jeśli zadanie ma rozwiązanie całkowitoliczbowe, to można je znaleźć metodą przeszukania wszystkich możliwości (których na ogół nie jest zbyt dużo).

Podkreślę: uczeń gimnazjum jest w stanie rozwiązać to zadanie metodą prób i błędów, będąc przy tym przekonany o jednoznaczności rozwiązania. Czy jednak to przekonanie jest uzasadnione?

Popatrzmy na następny przykład zadania.