Zadanie 3. Grześ

Za pięć lat Grześ będzie 4 razy starszy niż był 4 lata temu. Ile lat ma teraz Grześ?

To zadanie ma rozwiązanie będące liczbą całkowitą (Grześ ma 7 lat). Uczniowie zatem znajdują je dość szybko metodą prób i błędów. Omówimy zatem tę metodę na przykładzie dwóch modyfikacji zadania oryginalnego.

Sposób A1. Popatrzmy na dwie modyfikacje tego zadania, mające odpowiedzi niecałkowite (czasami zresztą dość sztuczne). Oto one:

Zadanie 3a. Za pięć lat Grześ będzie 5 razy starszy niż był 4 lata temu.

Zadanie 3b. Za pięć lat Grześ będzie 12 razy starszy niż był 4 lata temu.

W zadaniu 3a Grześ ma dzisiaj \(6\frac{1 }{ 4}\) roku (czyli 6 lat i 3 miesiące). To zadanie uczniowie rozwiązują czasami wyrażając wiek Grzesia w miesiącach. Budują wtedy następującą tabelkę:

dzisiaj	4 lata temu	za 5 lat	(za 5 lat) : (cztery lata temu)
50	2	110	55
60	12	120	10
70	22	130	\(5\frac{10 }{ 11}\)
80	32	140	\(4\frac{3 }{ 8}\)
75	27	135	5

Po trzeciej i czwartej próbie widać, że wiek Grzesia zawiera się między 70 i 80 miesiącami. Następna próba 75 miesięcy przynosi rozwiązanie zadania.

Zadanie 3b jest znacznie gorsze. Okazuje się, że Grześ dzisiaj ma \(4\frac{9}{11}\) lat. Jest to odpowiedź zdecydowanie sztuczna, ale ucząca tego, że nie zawsze metoda prób i błędów (czy raczej kolejnych przybliżeń) prowadzi łatwo do wyniku dokładnego.

Sposób A2. Odnotowawszy wyraźne kłopoty z metodą kolejnych przybliżeń, popatrzmy na metodę graficzną dającą wynik dokładny. Na osi liczbowej (osi czasu) zaznaczmy cztery punkty odpowiadające czterem momentom istotnym w zadaniu. Punkt A odpowiada chwili urodzenia Grzesia. Punkt C to dzisiaj. Punkt B odpowiada chwili cztery lata temu, a punkt D odpowiada chwili za pięć lat.

Oczywiście długość odcinka BD to 9 lat. Ponadto odcinek AD jest 4 razy dłuższy od odcinka AB, a zatem odcinek BD jest 3 razy dłuższy od odcinka AB. Stąd wynika, że odcinek AB to 3 lata, a więc cztery lata temu Grześ miał 3 lata. Dzisiaj ma zatem 7 lat.

W tym zadaniu mamy do czynienia z trzema wielkościami nieznanymi. Są nimi:

1. wiek Grzesia dzisiaj,
2. wiek Grzesia cztery lata temu,
3. wiek Grzesia za pięć lat.

Te wielkości są powiązane trzema warunkami, z których dwa są oczywiste: wiek Grzesia cztery lata temu (wyrażony w latach) jest o cztery mniejszy od wieku Grzesia dzisiaj (też wyrażonemu w latach). Podobnie wiek Grzesia za pięć lat jest o pięć większy od wieku Grzesia dzisiaj. Trzeci warunek wiąże ze sobą w nieoczywisty sposób wiek Grzesia cztery lata temu z wiekiem Grzesia za pięć lat. Dowolną z tych trzech wielkości nieznanych możemy przyjąć za niewiadomą x i w różny sposób możemy wykorzystywać warunki. Pokażę trzy przykładowe rozwiązania i zachęcam Czytelnika do znalezienia innych.

Sposób B1. Niech x oznacza wiek Grzesia dzisiaj (wyrażony w latach). Wiek Grzesia cztery lata temu i za pięć lat wyznaczymy z warunków oczywistych. Mamy zatem:

x	wiek Grzesia dzisiaj,
x − 4	wiek Grzesia cztery lata temu,
x + 5	wiek Grzesia za pięć lat.

Otrzymujemy równanie \(4\cdot(x - 4) = x + 5\), którego rozwiązaniem jest x = 7. Grześ ma zatem dzisiaj 7 lat.

Sposób B2. Niech x oznacza wiek Grzesia cztery lata temu (wyrażony w latach). Wiek Grzesia za pięć lat wyznaczymy z warunków oczywistych.

x	wiek Grzesia cztery lata temu,
x + 9	wiek Grzesia za pięć lat.

Otrzymujemy równanie 4x = x + 9, którego rozwiązaniem jest x = 3. Cztery lata temu Grześ miał 3 lata, a więc dzisiaj ma 7 lat.

Sposób B3. Niech x oznacza wiek Grzesia cztery lata temu (wyrażony w latach). Wiek Grzesia za pięć lat wyznaczymy z ostatniego warunku. Równanie otrzymamy porównując ze sobą wyrażony na dwa sposoby (z warunków oczywistych) wiek Grzesia dzisiaj.

x	wiek Grzesia cztery lata temu,
4x	wiek Grzesia za pięć lat,
x + 4	wiek Grzesia dzisiaj,
4x − 5	wiek Grzesia dzisiaj.

Otrzymujemy równanie x + 4 = 4x − 5, którego rozwiązaniem jest x = 3. Tak jak wyżej, Grześ miał 3 lata cztery lata temu, a więc dzisiaj ma 7 lat.

W tym zadaniu możemy dobierać niewiadome na kilka różnych sposobów. Pokażemy dwa z nich.

Sposób C1. Niech x oznacza wiek Grzesia dzisiaj (wyrażony w latach) i niech y oznacza wiek Grzesia za pięć lat. Mamy wówczas:

x	wiek Grzesia dzisiaj,
y	wiek Grzesia za pięć lat,
x − 4	wiek Grzesia cztery lata temu.

Otrzymujemy układ równań

x + 5 = y,

4(x − 4) = y,

którego rozwiązaniem jest

x = 7

y = 12

Grześ ma zatem dzisiaj 7 lat.

Sposób C2. Ułożymy układ równań z trzema niewiadomymi.

x	wiek Grzesia dzisiaj,
y	wiek Grzesia cztery lata temu,
z	wiek Grzesia za pięć lat.

Otrzymujemy układ trzech równań z trzema niewiadomymi: 

x − 4 = y

x + 5 = z

4y = z

którego rozwiązaniem jest

x = 7

y = 3

z = 12

Grześ ma zatem dzisiaj 7 lat.

Uwagi. To rozwiązanie jest oparte na zasadzie, która po chwili zastanowienia jest dla uczniów oczywista. Jeśli odcinek AD jest k razy dłuższy od AB , to BD jest k − 1 razy dłuższy od AB . Ta zasada działa nie tylko dla liczb całkowitych.