Za pięć lat Grześ będzie 4 razy starszy niż był 4 lata temu. Ile lat ma teraz Grześ?
To zadanie ma rozwiązanie będące liczbą całkowitą (Grześ ma 7 lat). Uczniowie zatem znajdują je dość szybko metodą prób i błędów. Omówimy zatem tę metodę na przykładzie dwóch modyfikacji zadania oryginalnego.
Sposób A1. Popatrzmy na dwie modyfikacje tego zadania, mające odpowiedzi niecałkowite (czasami zresztą dość sztuczne). Oto one:
Zadanie 3a. Za pięć lat Grześ będzie 5 razy starszy niż był 4 lata temu.
Zadanie 3b. Za pięć lat Grześ będzie 12 razy starszy niż był 4 lata temu.
W zadaniu 3a Grześ ma dzisiaj 614 roku (czyli 6 lat i 3 miesiące). To zadanie uczniowie rozwiązują czasami wyrażając wiek Grzesia w miesiącach. Budują wtedy następującą tabelkę:
-
-
dzisiaj 4 lata temu za 5 lat (za 5 lat) : (cztery lata temu) 50 2 110 55 60 12 120 10 70 22 130 51011 80 32 140 438 75 27 135 5
-
Po trzeciej i czwartej próbie widać, że wiek Grzesia zawiera się między 70 i 80 miesiącami. Następna próba 75 miesięcy przynosi rozwiązanie zadania.
Zadanie 3b jest znacznie gorsze. Okazuje się, że Grześ dzisiaj ma 4911 lat. Jest to odpowiedź zdecydowanie sztuczna, ale ucząca tego, że nie zawsze metoda prób i błędów (czy raczej kolejnych przybliżeń) prowadzi łatwo do wyniku dokładnego.
Sposób A2. Odnotowawszy wyraźne kłopoty z metodą kolejnych przybliżeń, popatrzmy na metodę graficzną dającą wynik dokładny. Na osi liczbowej (osi czasu) zaznaczmy cztery punkty odpowiadające czterem momentom istotnym w zadaniu. Punkt A odpowiada chwili urodzenia Grzesia. Punkt C to dzisiaj. Punkt B odpowiada chwili cztery lata temu, a punkt D odpowiada chwili za pięć lat.

Oczywiście długość odcinka BD to 9 lat. Ponadto odcinek AD jest 4 razy dłuższy od odcinka AB, a zatem odcinek BD jest 3 razy dłuższy od odcinka AB. Stąd wynika, że odcinek AB to 3 lata, a więc cztery lata temu Grześ miał 3 lata. Dzisiaj ma zatem 7 lat.
W tym zadaniu mamy do czynienia z trzema wielkościami nieznanymi. Są nimi:
-
- wiek Grzesia dzisiaj,
- wiek Grzesia cztery lata temu,
- wiek Grzesia za pięć lat.
Te wielkości są powiązane trzema warunkami, z których dwa są oczywiste: wiek Grzesia cztery lata temu (wyrażony w latach) jest o cztery mniejszy od wieku Grzesia dzisiaj (też wyrażonemu w latach). Podobnie wiek Grzesia za pięć lat jest o pięć większy od wieku Grzesia dzisiaj. Trzeci warunek wiąże ze sobą w nieoczywisty sposób wiek Grzesia cztery lata temu z wiekiem Grzesia za pięć lat. Dowolną z tych trzech wielkości nieznanych możemy przyjąć za niewiadomą x i w różny sposób możemy wykorzystywać warunki. Pokażę trzy przykładowe rozwiązania i zachęcam Czytelnika do znalezienia innych.
Sposób B1. Niech x oznacza wiek Grzesia dzisiaj (wyrażony w latach). Wiek Grzesia cztery lata temu i za pięć lat wyznaczymy z warunków oczywistych. Mamy zatem:
-
-
x wiek Grzesia dzisiaj, x − 4 wiek Grzesia cztery lata temu, x + 5 wiek Grzesia za pięć lat.
-
Otrzymujemy równanie 4⋅(x−4)=x+5, którego rozwiązaniem jest x = 7. Grześ ma zatem dzisiaj 7 lat.
Sposób B2. Niech x oznacza wiek Grzesia cztery lata temu (wyrażony w latach). Wiek Grzesia za pięć lat wyznaczymy z warunków oczywistych.
-
-
x wiek Grzesia cztery lata temu, x + 9 wiek Grzesia za pięć lat.
-
Otrzymujemy równanie 4x = x + 9, którego rozwiązaniem jest x = 3. Cztery lata temu Grześ miał 3 lata, a więc dzisiaj ma 7 lat.
Sposób B3. Niech x oznacza wiek Grzesia cztery lata temu (wyrażony w latach). Wiek Grzesia za pięć lat wyznaczymy z ostatniego warunku. Równanie otrzymamy porównując ze sobą wyrażony na dwa sposoby (z warunków oczywistych) wiek Grzesia dzisiaj.
-
-
x wiek Grzesia cztery lata temu, 4x wiek Grzesia za pięć lat, x + 4 wiek Grzesia dzisiaj, 4x − 5 wiek Grzesia dzisiaj.
-
Otrzymujemy równanie x + 4 = 4x − 5, którego rozwiązaniem jest x = 3. Tak jak wyżej, Grześ miał 3 lata cztery lata temu, a więc dzisiaj ma 7 lat.
W tym zadaniu możemy dobierać niewiadome na kilka różnych sposobów. Pokażemy dwa z nich.
Sposób C1. Niech x oznacza wiek Grzesia dzisiaj (wyrażony w latach) i niech y oznacza wiek Grzesia za pięć lat. Mamy wówczas:
-
-
x wiek Grzesia dzisiaj, y wiek Grzesia za pięć lat, x − 4 wiek Grzesia cztery lata temu.
-
Otrzymujemy układ równań
-
- x + 5 = y,
- 4(x − 4) = y,
- x + 5 = y,
którego rozwiązaniem jest
-
- x = 7
- y = 12
- x = 7
Grześ ma zatem dzisiaj 7 lat.
Sposób C2. Ułożymy układ równań z trzema niewiadomymi.
-
x wiek Grzesia dzisiaj, y wiek Grzesia cztery lata temu, z wiek Grzesia za pięć lat.
Otrzymujemy układ trzech równań z trzema niewiadomymi:
-
- x − 4 = y
- x + 5 = z
- 4y = z
- x − 4 = y
którego rozwiązaniem jest
-
- x = 7
- y = 3
- z = 12
- x = 7
Grześ ma zatem dzisiaj 7 lat.
Uwagi. To rozwiązanie jest oparte na zasadzie, która po chwili zastanowienia jest dla uczniów oczywista. Jeśli odcinek AD jest k razy dłuższy od AB , to BD jest k − 1 razy dłuższy od AB . Ta zasada działa nie tylko dla liczb całkowitych.