Zadanie 4. Grześ i tata

Trzy lata temu tata był 5 razy starszy od Grzesia. Za trzy lata będzie 3 razy starszy. Ile lat ma Grześ teraz?

Zaznaczmy na odcinku cztery punkty:

Punkt A oznacza moment urodzenia taty Grzesia, punkt B to moment urodzenia Grzesia. Punkty C i D to odpowiednio: "trzy lata temu" oraz "za trzy lata". Zatem odcinek CD to 6 lat.

Odcinek AC jest 5 razy dłuższy od BC , skąd wynika, że AB jest 4 razy dłuższy od BC . Inaczej: odcinek BC to $\frac{1 }{ 4}AB$ .

Odcinek AD jest 3 razy dłuższy od BD , skąd wynika, że AB jest 2 razy dłuższy od BD . Inaczej: odcinek BD to $\frac{1 }{ 2}AB$ .

Zatem $CD = \bigl ( \frac{1 }{ 2} - \frac{1 }{ 4} \bigr ) AB = \frac{1 }{ 4} AB$ , czyli AB = 4CD = 24 lata. Stąd BC to 6 lat. Zatem 3 lata temu Grześ miał 6 lat, czyli dzisiaj ma 9 lat.

W tym zadaniu mamy dwie naturalne wielkości nieznane: wiek Grzesia i wiek jego taty dzisiaj. Mamy również dwa warunki wiążące wielkości nieznane: porównanie wieku Grzesia i jego taty trzy lata temu i za trzy lata. Zauważmy, że podobnie jak w zadaniu poprzednim możemy wprowadzić jeszcze kilka wielkości nieznanych (np. wiek Grzesia i taty trzy lata temu lub za trzy lata) i kilka oczywistych warunków wiążących te wielkości. W tym zadaniu nie będziemy tego robić, ograniczając się zatem tylko do dwóch najważniejszych wielkości nieznanych (wieku Grzesia i wieku jego taty) i dwóch warunków. Pierwszy z nich mówi, że trzy lata temu tata był 5 razy starszy od Grzesia. Drugi zaś mówi, że za trzy lata tata będzie 3 razy starszy. Przystąpmy więc do układania równań. Mamy cztery główne możliwości. Omówimy dokładnie dwie z nich (gdy niewiadomą jest wiek Grzesia), pozostawiając pozostałe dwie Czytelnikowi do samodzielnego wykonania.

Sposób B1. Niewiadomą x będzie wiek Grzesia dzisiaj (wyrażony w latach). Wiek jego taty (także wyrażony w latach) wyznaczymy z pierwszego warunku, a drugi warunek zapiszemy jako równanie. Mamy zatem:

x	wiek Grzesia dzisiaj,
x - 3	wiek Grzesia trzy lata temu,
5(x - 3)	wiek taty Grzesia trzy lata temu,
x + 3	wiek Grzesia za trzy lata,
5(x-3)+6	wiek taty Grzesia za trzy lata.

Otrzymujemy równanie 5(x − 3) + 6 = 3(x + 3), którego rozwiązaniem jest x = 9 . Zatem Grześ ma teraz 9 lat.

Dwiema niewiadomymi będą wiek Grzesia i jego taty dzisiaj (oba wyrażone w latach). Oba warunki zapisujemy w postaci równań. Mamy zatem:

x	wiek Grzesia dzisiaj,
y	wiek taty Grzesia dzisiaj,
x - 3	wiek Grzesia trzy lata temu,
y - 3	wiek taty Grzesia trzy lata temu,
x + 3	wiek Grzesia za trzy lata,
y + 3	wiek taty Grzesia za trzy lata.

Otrzymujemy układ równań

$y-3 = 5(x-3),\qquad y+3 = 3(x+3)$

którego rozwiązaniem jest

$x = 9,\qquad y = 33.$

Zatem Grześ ma teraz 9 lat (a jego tata ma dzisiaj 33 lata).