Zadanie 5. Grześ, tata i dziadek

Dziadek Grzesia ma 5 razy tyle lat, ile tata Grzesia miał wtedy, kiedy dziadek miał tyle lat, ile tata ma teraz. Dziadek i tata Grzesia mają razem 136 lat. Ile lat ma dziadek Grzesia i ile lat ma tata Grzesia?

Omówię rozwiązanie graficzne. Długością odcinków wyrażę ważne wielkości występujące w zadaniu. Długość odcinka AB to obecny wiek dziadka. Długość odcinka AC to obecny wiek taty Grzesia. Długość odcinka CB to różnica wieku dziadka i taty.

Ta różnica to wielkość, która ma duże znaczenie w zadaniu. Zastanówmy się, kiedy dziadek miał tyle lat, ile tata ma teraz. Otóż było to tyle lat temu, ile właśnie wynosi ta różnica wieku. A wtedy tata miał o tyle lat mniej. Wiek taty Grzesia wtedy to długość odcinka AD; odcinki DC i CB mają równe długości. O tyle lat bowiem tata był młodszy, o ile młodszy był dziadek.

W tym zadaniu mamy dwie podstawowe wielkości nieznane: wiek dziadka Grzesia i wiek taty Grzesia. Mamy też dwa warunki wiążące te dwie wielkości nieznane. Pierwszy warunek jest łatwy do odczytania w treści zadania: razem mają 136 lat. Drugi warunek jest bardziej skomplikowany. Aby go dobrze zrozumieć, nazwijmy dwa momenty, o których mowa w zadaniu. Pierwszy z nich, to TERAZ, czyli dzisiaj. Dziadek ma pewną liczbę lat, tata Grzesia jest od dziadka sporo młodszy. Drugi moment nazwiemy WTEDY; jest to ten moment, w którym dziadek Grzesia był sporo młodszy i miał dokładnie tyle lat, ile tata Grzesia ma dzisiaj. Tata Grzesia był wtedy też młodszy; oczywiście o tyle samo lat, o ile młodszy był dziadek Grzesia. Drugi warunek mówi, że wiek dziadka TERAZ jest 5 razy większy od wieku taty WTEDY. Mamy dwie wielkości nieznane i dwa warunki. Możemy więc ułożyć co najmniej cztery równania. Omówimy dokładnie wszystkie cztery, by pokazać różne sposoby wykorzystania tego skomplikowanego warunku "TERAZ-WTEDY".

Sposób B1. Niewiadomą x będzie wiek dziadka Grzesia TERAZ (wyrażony w latach). Wiek taty Grzesia (także wyrażony w latach) wyznaczymy z pierwszego warunku, a drugi warunek zapiszemy jako równanie. Mamy zatem:

x	wiek dziadka Grzesia TERAZ,
136 − x	wiek taty Grzesia TERAZ,
136 − x	wiek dziadka Grzesia WTEDY,
x − (136 − x)	tyle lat minęło od WTEDY do TERAZ,
(136 − x) − (x − (136 − x))	wiek taty Grzesia WTEDY.

Otrzymujemy równanie

$x = 5 \cdot [ (136 - x) - ( x - (136-x) ) ],$

którego rozwiązaniem jest x = 85. Zatem dziadek Grzesia ma teraz 85 lat, a tata Grzesia ma w takim razie 51 lat.

Sposób B2. Niewiadomą x będzie wiek dziadka Grzesia TERAZ (wyrażony w latach). Wiek taty Grzesia (także wyrażony w latach) wyznaczymy tym razem z drugiego warunku, a pierwszy warunek zapiszemy jako równanie. Korzystamy tu z dokonanej wyżej obserwacji, że tata Grzesia WTEDY był o tyle samo lat młodszy, o ile młodszy był dziadek Grzesia. A zatem wiek dziadka Grzesia WTEDY (czyli wiek taty Grzesia TERAZ) leży dokładnie pośrodku odcinka od wieku taty WTEDY do wieku dziadka TERAZ. Mamy zatem:

x	wiek dziadka Grzesia TERAZ,
$\frac{1 }{ 5}x$	wiek taty Grzesia WTEDY,
$\frac{4 }{ 5}x$	tyle lat dzieli wiek taty WTEDY i wiek dziadka TERAZ,
$\frac{2 }{ 5}x$	tyle lat minęło od WTEDY do TERAZ,
$\frac{1 }{ 5}x + \frac{2 }{ 5}x$	wiek taty Grzesia TERAZ.

Otrzymujemy równanie

$x + \frac{1 }{ 5}x + \frac{2 }{ 5}x = 136,$

którego rozwiązaniem jest x = 85. Zatem dziadek Grzesia ma teraz 85 lat, a tata Grzesia ma w takim razie 51 lat.

Sposób B3. Niewiadomą x będzie wiek taty Grzesia TERAZ (wyrażony w latach). Wiek dziadka Grzesia (także wyrażony w latach) wyznaczymy z pierwszego warunku, a drugi warunek zapiszemy jako równanie. Mamy zatem:

x	wiek taty Grzesia TERAZ,
136 − x	wiek dziadka Grzesia TERAZ,
x	wiek dziadka Grzesia WTEDY,
136 − 2x	tyle lat minęło od WTEDY do TERAZ,
x − (136 − 2x)	wiek taty Grzesia WTEDY.

Otrzymujemy równanie

$136 - x = 5 \cdot \bigl ( x - (136-2x) \bigr ),$

którego rozwiązaniem jest x = 51. Zatem tata Grzesia ma teraz 51 lat, a dziadek Grzesia ma w takim razie 85 lat.

Niewiadomymi będą obie wielkości nieznane: wiek dziadka dzisiaj i wiek taty dzisiaj (oba wyrażone w latach). Oba warunki zostaną zapisane w postaci równań. Mamy zatem:

x	wiek dziadka Grzesia TERAZ,
y	wiek taty Grzesia TERAZ,
y	wiek dziadka Grzesia WTEDY,
x − y	tyle lat minęło od WTEDY do TERAZ,	y − (x − y)	wiek taty Grzesia WTEDY.

Otrzymujemy układ równań

$x + y = 136; \qquad x = 5 ( y - (x-y) )$

którego rozwiązaniem jest

$x = 85; \qquad y = 51$

Zatem dziadek Grzesia ma teraz 85 lat, a tata Grzesia 51 lat.