Grześ i jego młodszy brat Bartek zbierali kasztany. Grześ zebrał 7 razy więcej kasztanów niż jego brat. Wtedy Grześ dał bratu 6 kasztanów i teraz ma 5 razy więcej niż Bartek. Ile kasztanów zebrał każdy z braci?
A. Rozwiązania bez równań.
Pokażemy dwa rozwiązania bez równań. Pierwsze polega na systematycznym przeszukiwaniu, drugie jest graficzne.
Sposób A1. Budujemy tabelkę (litery G i B oznaczają odpowiednio Grzesia i Bartka, słowa "przed" i "po" oznaczają sytuację przed oddaniem 6 kasztanów i po oddaniu ich):
-
-
B. (przed) G. (przed) B. (po) G. (po) (G. po):(B. po) 1 7 7 1 \(\frac{1 }{ 7} \approx 0{,}14\) 2 14 8 8 1 3 21 9 15 \(\frac{5 }{ 3} \approx 1{,}67\) 4 28 10 22 \(\frac{11 }{ 5} = 2{,}2\) 5 35 11 29 \(\frac{29 }{ 11} \approx 2{,}64\) 6 42 12 36 3 7 49 13 43 \(\frac{43 }{ 13} \approx 3{,}31\) 8 56 14 50 \(\frac{25 }{ 7} \approx 3{,}57\) 9 63 15 57 \(\frac{19 }{ 5} = 3{,}8\) 10 70 16 64 4 11 77 17 71 \(\frac{71 }{ 17} \approx 4{,}18\) 12 84 18 78 \(\frac{13 }{ 3} \approx 4{,}33\) 13 91 19 85 \(\frac{85 }{ 19} \approx 4{,}47\) 14 98 20 92 \(\frac{23 }{ 5} = 4{,}6\) 15 105 21 99 \(\frac{33 }{ 7} \approx 4{,}71\) 16 112 22 106 \(\frac{53 }{ 11} \approx 4{,}82\) 17 119 23 113 \(\frac{113 }{ 23} \approx 4{,}91\) 18 126 24 120 5
-
Grześ zebrał zatem 126 kasztanów, a Bartek 18. Zauważmy, że liczby w ostatniej kolumnie rosną. Uczeń, który dostrzeże tę prawidłowość, może wykorzystać ją w metodzie kolejnych przybliżeń. Jego tabelka poszukiwań może wyglądać następująco:
-
-
B. (przed) G. (przed) B. (po) G. (po) (G. po):(B. po) 1 7 7 1 \(\frac{1 }{ 7} \approx 0{,}14\) 2 14 8 8 1 3 21 9 15 \(\frac{5 }{ 3} \approx 1{,}67\) 4 28 10 22 \(\frac{11 }{ 5} = 2{,}2\) 10 70 16 64 4 20 140 26 134 \(\frac{67 }{ 13} \approx 5{,}15\) 15 105 21 99 \(\frac{33 }{ 7} \approx 4{,}71\) 18 126 24 120 5
-
Sposób A2. Rozwiązanie graficzne. Długość odcinka AB odpowiada liczbie zebranych kasztanów. Odcinek AC odpowiada kasztanom zebranym przez Bartka, siedmiokrotnie dłuższy odcinek CB odpowiada kasztanom zebranym przez Grzesia.
Następnie zaznaczmy przerywaną linią odcinek CD odpowiadający kasztanom oddanym Bartkowi przez Grzesia. Teraz odcinek AD jest 5 razy krótszy od odcinka DB.
Odcinek AD składa się z dwóch odcinków: AC i CD. Zaznaczmy po pięć takich odcinków wewnątrz odcinka DB:
Pamiętamy, że odcinek CB jest 7 razy dłuższy od odcinka AC. Pięć takich odcinków (tzn. równych odcinkowi AC) już widzimy wewnątrz odcinka CB. Na pozostałe dwa musi się złożyć 6 odcinków równych CD. A więc odcinek AC jest 3 razy dłuższy od odcinka CD. Ponieważ CD oznacza 6 kasztanów, więc AC oznacza 18 kasztanów. A to znaczy, że Bartek zebrał 18 kasztanów, a Grześ 7 razy więcej, czyli 126.
B. Równanie z jedną niewiadomą.
W tym zadaniu możemy wybrać niewiadomą na wiele sposobów. Na przykład x może oznaczać liczbę kasztanów, które zebrał Grześ lub liczbę kasztanów, które zebrał Bartek. Może też oznaczać liczbę kasztanów, które po oddaniu 6 kasztanów miał Grześ lub liczbę kasztanów, które po otrzymaniu 6 kasztanów miał Bartek. Mamy też dwa naturalne warunki: przed oddaniem Grześ miał 7 razy więcej kasztanów i po oddaniu miał 5 razy więcej. Każdy z tych warunków możemy wykorzystać do potrzebnych obliczeń, a drugi stanie się równaniem. Mamy więc co najmniej 8 różnych sposobów układania równania. Opiszemy tu dwa z nich; pozostałe będą dobrym ćwiczeniem.
Sposób B1. Niech x oznacza liczbę kasztanów zebranych przez Bartka. Liczbę kasztanów zebranych przez Grzesia wyznaczymy z pierwszego warunku, drugi warunek zapiszemy w postaci równania. Mamy zatem:
-
-
x liczba kasztanów zebranych przez Bartka, 7x liczba kasztanów zebranych przez Grzesia, x + 6 liczba kasztanów Bartka po otrzymaniu kasztanów od Grzesia, 7x − 6 liczba kasztanów Grzesia po oddaniu 6 kasztanów Bartkowi.
-
Otrzymujemy równanie
-
- 7x − 6 = 5(x + 6),
którego rozwiązaniem jest x = 18. Zatem Bartek zebrał 18 kasztanów, a Grześ 126.
Sposób B2. Niech x oznacza liczbę kasztanów posiadanych przez Grzesia po oddaniu 6 kasztanów Bartkowi. Liczbę kasztanów Bartka (po otrzymaniu 6 kasztanów) wyznaczymy z drugiego warunku, a pierwszy warunek zapiszemy w postaci równania. Mamy zatem:
-
-
x liczba kasztanów posiadanych przez Grzesia (po oddaniu kasztanów), \(\frac{x }{ 5}\) liczba kasztanów posiadanych przez Bartka (po otrzymaniu kasztanów), x + 6 liczba zebranych przez Grzesia, \(\frac{x }{ 5}-6 \) liczba kasztanów zebranych przez Bartka.
-
-
- \(x+6 = 7 \cdot (\frac{x }{ 5}-6 ),\)
którego rozwiązaniem jest x = 120. Zatem Grześ zebrał 126 kasztanów, a Bartek 18.
C. Układ równań z dwiema niewiadomymi.
Wprowadzamy następujące niewiadome x i y:
-
-
x liczba kasztanów zebranych przez Grzesia, y liczba kasztanów zebranych przez Bartka, x − 6 liczba kasztanów posiadanych przez Grzesia po oddaniu 6 kasztanów, y + 6 liczba kasztanów Bartka po otrzymaniu 6 kasztanów.
-
Otrzymujemy układ równań:
-
- \(x = 7y;\qquad x-6 = 5(y+6).\)
Rozwiązaniem tegu układu jest para liczb
-
- \(x = 126;\qquad y = 18.\)
Zatem Grześ zebrał 126 kasztanów, a Bartek 18.