Grześ i jego młodszy brat Bartek zbierali kasztany. Grześ zebrał 7 razy więcej kasztanów niż jego brat. Wtedy Grześ dał bratu 6 kasztanów i teraz ma 5 razy więcej niż Bartek. Ile kasztanów zebrał każdy z braci?
A. Rozwiązania bez równań.
Pokażemy dwa rozwiązania bez równań. Pierwsze polega na systematycznym przeszukiwaniu, drugie jest graficzne.
Sposób A1. Budujemy tabelkę (litery G i B oznaczają odpowiednio Grzesia i Bartka, słowa "przed" i "po" oznaczają sytuację przed oddaniem 6 kasztanów i po oddaniu ich):
-
-
B. (przed) G. (przed) B. (po) G. (po) (G. po):(B. po) 1 7 7 1 \(\frac{1 }{ 7} \approx 0{,}14\) 2 14 8 8 1 3 21 9 15 \(\frac{5 }{ 3} \approx 1{,}67\) 4 28 10 22 \(\frac{11 }{ 5} = 2{,}2\) 5 35 11 29 \(\frac{29 }{ 11} \approx 2{,}64\) 6 42 12 36 3 7 49 13 43 \(\frac{43 }{ 13} \approx 3{,}31\) 8 56 14 50 \(\frac{25 }{ 7} \approx 3{,}57\) 9 63 15 57 \(\frac{19 }{ 5} = 3{,}8\) 10 70 16 64 4 11 77 17 71 \(\frac{71 }{ 17} \approx 4{,}18\) 12 84 18 78 \(\frac{13 }{ 3} \approx 4{,}33\) 13 91 19 85 \(\frac{85 }{ 19} \approx 4{,}47\) 14 98 20 92 \(\frac{23 }{ 5} = 4{,}6\) 15 105 21 99 \(\frac{33 }{ 7} \approx 4{,}71\) 16 112 22 106 \(\frac{53 }{ 11} \approx 4{,}82\) 17 119 23 113 \(\frac{113 }{ 23} \approx 4{,}91\) 18 126 24 120 5
-
Grześ zebrał zatem 126 kasztanów, a Bartek 18. Zauważmy, że liczby w ostatniej kolumnie rosną. Uczeń, który dostrzeże tę prawidłowość, może wykorzystać ją w metodzie kolejnych przybliżeń. Jego tabelka poszukiwań może wyglądać następująco:
-
-
B. (przed) G. (przed) B. (po) G. (po) (G. po):(B. po) 1 7 7 1 \(\frac{1 }{ 7} \approx 0{,}14\) 2 14 8 8 1 3 21 9 15 \(\frac{5 }{ 3} \approx 1{,}67\) 4 28 10 22 \(\frac{11 }{ 5} = 2{,}2\) 10 70 16 64 4 20 140 26 134 \(\frac{67 }{ 13} \approx 5{,}15\) 15 105 21 99 \(\frac{33 }{ 7} \approx 4{,}71\) 18 126 24 120 5
-
Sposób A2. Rozwiązanie graficzne. Długość odcinka AB odpowiada liczbie zebranych kasztanów. Odcinek AC odpowiada kasztanom zebranym przez Bartka, siedmiokrotnie dłuższy odcinek CB odpowiada kasztanom zebranym przez Grzesia.
![](sites/default/files/Kasz1.jpg)
Następnie zaznaczmy przerywaną linią odcinek CD odpowiadający kasztanom oddanym Bartkowi przez Grzesia. Teraz odcinek AD jest 5 razy krótszy od odcinka DB.
![](sites/default/files/Kasz2.jpg)
Odcinek AD składa się z dwóch odcinków: AC i CD. Zaznaczmy po pięć takich odcinków wewnątrz odcinka DB:
![](sites/default/files/Kasz3.jpg)
Pamiętamy, że odcinek CB jest 7 razy dłuższy od odcinka AC. Pięć takich odcinków (tzn. równych odcinkowi AC) już widzimy wewnątrz odcinka CB. Na pozostałe dwa musi się złożyć 6 odcinków równych CD. A więc odcinek AC jest 3 razy dłuższy od odcinka CD. Ponieważ CD oznacza 6 kasztanów, więc AC oznacza 18 kasztanów. A to znaczy, że Bartek zebrał 18 kasztanów, a Grześ 7 razy więcej, czyli 126.
B. Równanie z jedną niewiadomą.
W tym zadaniu możemy wybrać niewiadomą na wiele sposobów. Na przykład x może oznaczać liczbę kasztanów, które zebrał Grześ lub liczbę kasztanów, które zebrał Bartek. Może też oznaczać liczbę kasztanów, które po oddaniu 6 kasztanów miał Grześ lub liczbę kasztanów, które po otrzymaniu 6 kasztanów miał Bartek. Mamy też dwa naturalne warunki: przed oddaniem Grześ miał 7 razy więcej kasztanów i po oddaniu miał 5 razy więcej. Każdy z tych warunków możemy wykorzystać do potrzebnych obliczeń, a drugi stanie się równaniem. Mamy więc co najmniej 8 różnych sposobów układania równania. Opiszemy tu dwa z nich; pozostałe będą dobrym ćwiczeniem.
Sposób B1. Niech x oznacza liczbę kasztanów zebranych przez Bartka. Liczbę kasztanów zebranych przez Grzesia wyznaczymy z pierwszego warunku, drugi warunek zapiszemy w postaci równania. Mamy zatem:
-
-
x liczba kasztanów zebranych przez Bartka, 7x liczba kasztanów zebranych przez Grzesia, x + 6 liczba kasztanów Bartka po otrzymaniu kasztanów od Grzesia, 7x − 6 liczba kasztanów Grzesia po oddaniu 6 kasztanów Bartkowi.
-
Otrzymujemy równanie
-
- 7x − 6 = 5(x + 6),
którego rozwiązaniem jest x = 18. Zatem Bartek zebrał 18 kasztanów, a Grześ 126.
Sposób B2. Niech x oznacza liczbę kasztanów posiadanych przez Grzesia po oddaniu 6 kasztanów Bartkowi. Liczbę kasztanów Bartka (po otrzymaniu 6 kasztanów) wyznaczymy z drugiego warunku, a pierwszy warunek zapiszemy w postaci równania. Mamy zatem:
-
-
x liczba kasztanów posiadanych przez Grzesia (po oddaniu kasztanów), \(\frac{x }{ 5}\) liczba kasztanów posiadanych przez Bartka (po otrzymaniu kasztanów), x + 6 liczba zebranych przez Grzesia, \(\frac{x }{ 5}-6 \) liczba kasztanów zebranych przez Bartka.
-
-
- \(x+6 = 7 \cdot (\frac{x }{ 5}-6 ),\)
którego rozwiązaniem jest x = 120. Zatem Grześ zebrał 126 kasztanów, a Bartek 18.
C. Układ równań z dwiema niewiadomymi.
Wprowadzamy następujące niewiadome x i y:
-
-
x liczba kasztanów zebranych przez Grzesia, y liczba kasztanów zebranych przez Bartka, x − 6 liczba kasztanów posiadanych przez Grzesia po oddaniu 6 kasztanów, y + 6 liczba kasztanów Bartka po otrzymaniu 6 kasztanów.
-
Otrzymujemy układ równań:
-
- \(x = 7y;\qquad x-6 = 5(y+6).\)
Rozwiązaniem tegu układu jest para liczb
-
- \(x = 126;\qquad y = 18.\)
Zatem Grześ zebrał 126 kasztanów, a Bartek 18.