Dwukrotnie byłem w cukierni. Za pierwszym razem za 2 bułeczki i jedno ciastko zapłaciłem 4,10 zł. Za drugim razem za 3 bułeczki i dwa ciastka zapłaciłem 7,00 zł. Ile kosztuje bułeczka, a ile ciastko?
A. Rozwiązania bez równań.
Uczniowie czasami stosują metodę prób i błędów. Przyjmują jakąś cenę bułeczki, obliczają cenę dwóch bułeczek, następnie cenę ciastka i tak dalej. Otrzymane wyniki zapisują w tabelce postaci:
-
-
Cena bułeczki Cena 2 bułeczek Cena ciastka Cena 3 bułeczek i 2 ciastek 0,10 0,20 3,90 8,10 0,20 0,40 3,70 8,00 0,30 0,60 3,50 7,90 0,40 0,80 3,30 7,80 0,50 1,00 3,10 7,70 0,60 1,20 2,90 7,60 0,70 1,40 2,70 7,50 0,80 1,60 2,50 7,40 0,90 1,80 2,30 7,30 1,00 2,00 2,10 7,20 1,10 2,20 1,90 7,10 1,20 2,40 1,70 7,00
-
Po kilkunastu krokach znajdują odpowiedź: bułeczka kosztuje 1,20 zł, a ciastko 1,70 zł.
Niektórzy uczniowie już w trakcie tworzenia tabelki dostrzegają, że wraz ze wzrostem ceny bułeczki o 10 gr, cena zakupu za drugim razem (tzn. trzech bułeczek i dwóch ciastek) zmniejsza się o 10 gr. Dzięki temu znajdują odpowiedź szybciej.
Komentarz: dalsze rozwiązania bez równań
Często uczniowie znajdują samodzielnie inną metodę; inni dość szybko uczą się jej po kilku przykładach. Popatrzmy na przykładowe rozumowania. Porównując cenę pierwszego i drugiego zakupu zauważamy, że jedna bułeczka i jedno ciastko kosztują razem 2,90 zł. Porównując tę cenę z ceną pierwszego zakupu, stwierdzamy, że cena bułeczki wynosi 1,20 zł. Zatem ciastko kosztuje 1,70 zł.
Rzadziej uczniowie znajdują metodę "sprowadzania do tego samego współczynnika". Rozumują tak: za 2 bułeczki i jedno ciastko zapłaciłem 4,10 zł; za 4 bułeczki i 2 ciastka zapłaciłbym 8,20 zł. Ale za 3 bułeczki i 2 ciastka zapłaciłem 7,00 zł. Zatem bułeczka kosztuje 1,20 zł.
Uwaga. Ta druga metoda jest metodą ogólną i odpowiada sposobowi rozwiązywania układów równań za pomocą "metody przeciwnych współczynników". Dlatego warto tę metodę uczniom pokazać. Należy jednak pamiętać, że na ogół uczniowie sami tej metody nie odnajdą i w każdym zadaniu będą szukali indywidualnego sposobu, zależnego od treści zadania. Popatrzmy na takie sytuacje.
Dwa inne przykłady podobnych zadań.
Zadanie 7a. Dwukrotnie byłem w cukierni. Za pierwszym razem za 4 bułeczki i 6 ciastek zapłaciłem 15 zł. Za drugim razem za 6 bułeczek i 4 ciastka zapłaciłem 14 zł. Ile kosztuje bułeczka i ile ciastko?
Zadanie 7b. Dwukrotnie byłem w cukierni. Za pierwszym razem za 4 bułeczki i 5 ciastek zapłaciłem 13,30 zł. Za drugim razem za 7 bułeczek i 3 ciastka zapłaciłem 13,50 zł. Ile kosztuje bułeczka i ile ciastko?
W zadaniu 7a wielu uczniów dostrzega, że za 10 bułeczek i 10 ciastek zapłacilibyśmy 29 zł, a więc bułeczka i ciasteczko kosztują razem 2,90 zł. Stąd wynika, że 4 bułeczki i 4 ciastka kosztują 11,60 zł, a zatem 2 bułeczki kosztują 2,40 zł. Jedna bułeczka kosztuje 1,20 zł, a ciastko 1,70 zł.
Inni uczniowie zauważają, że 2 ciastka kosztują o 1 zł więcej od dwóch bułeczek, a więc ciastko jest droższe od bułeczki o 50 gr. Stąd już łatwo znajdują obie ceny. Tę metodę stosują też w zadaniu 7b. Zauważają, że 3 bułeczki są o 20 gr droższe od dwóch ciastek, a więc za bułeczkę i 7 ciastek zapłacilibyśmy 13,10 zł. Łącząc oba dokonane zakupy stwierdzamy, że za 11 bułeczek i 8 ciastek zapłacilibyśmy 26,80 zł, a więc za 2 bułeczki i 14 ciastek o 60 gr mniej, czyli 26,20 zł. Razem za 3 bułeczki i 21 ciastek zapłacilibyśmy 39,30 zł, czyli za 23 ciastka 39,10 zł. Stąd wynika, że ciastko kosztuje 1,70 zł. Ciekawe jest to, że wielu uczniów znajduje takie, pozornie skomplikowane, metody rozwiązania podobnych zadań.
Podkreślę jeszcze raz, że na zakończenie należy uczniom pokazać metodę "zrównywania współczynników" i wymagać zastosowania jej w kilku podobnych zadaniach. W zadaniu 7a może ona wyglądać następująco:
- Za 4 bułeczki i 6 ciastek zapłaciliśmy 15 zł.
- Za 24 bułeczki i 36 ciastek zapłacilibyśmy 90 zł.
- Za 6 bułeczek i 4 ciastka zapłaciliśmy 14 zł.
- Za 24 bułeczki i 16 ciastek zapłacilibyśmy 56 zł.
- Za 20 ciastek zapłacilibyśmy 34 zł.
- 1 ciastko kosztuje 1,70 zł.
- 1 bułeczka kosztuje 1,20 zł.
W zadaniu 7b to rozumowanie może wyglądać następująco:
- Za 4 bułeczki i 5 ciastek zapłaciliśmy 13,30 zł.
- Za 28 bułeczek i 35 ciastek zapłacilibyśmy 93,10 zł.
- Za 7 bułeczek i 3 ciastka zapłaciliśmy 13,50 zł.
- Za 28 bułeczek i 12 ciastek zapłacilibyśmy 54 zł.
- Za 23 ciastka zapłacilibyśmy 39,10 zł.
- 1 ciastko kosztuje 1,70 zł.
- 1 bułeczka kosztuje 1,20 zł.
B. Równanie z jedną niewiadomą.
W tym zadaniu mamy dwie wielkości nieznane. Są nimi: cena bułeczki i cena ciastka. Mamy też dwa warunki łączące te wielkości; oba warunki są opisane w zadaniu. Każdy warunek odpowiada jednej wizycie w cukierni i powstaje z porównania dwóch informacji. Jedną jest lista zakupów (liczba kupionych bułeczek i ciastek), drugą jest cena.
Jako niewiadomą możemy przyjąć każdą z nieznanych wielkości. Z jednego warunku wyznaczamy wtedy drugą nieznaną wielkość, a drugi warunek zapiszemy jako równanie. Mamy więc cztery naturalne sposoby ułożenia w tym zadaniu równania z jedną niewiadomą. Oto one.
Sposób B1. Niewiadomą x będzie cena bułeczki. Cenę ciastka wyznaczymy z pierwszego warunku, a drugi zapiszemy jako równanie. Mamy zatem:
-
-
x cena bułeczki, 2x cena dwóch bułeczek, 4,10 − 2x cena ciastka, 3x cena trzech bułeczek, \(2 \cdot (4{,}10 - 2x)\) cena dwóch ciastek.
-
Otrzymujemy równanie
-
- \(3x + 2 \cdot (4{,}10 - 2x) = 7{,}00,\)
którego rozwiązaniem jest x = 1,20. Zatem bułeczka kosztuje 1,20 zł. Cenę ciastka obliczamy ze wzoru
-
- \(4{,}10 - 2x = 4{,}10 - 2 \cdot 1{,}20 = 4{,}10 - 2{,}40 = 1{,}70.\)
Ciastko kosztuje więc 1,70 zł.
Sposób B2. Niewiadomą x będzie znów cena bułeczki. Cenę ciastka wyznaczymy natomiast z drugiego warunku i pierwszy zapiszemy jako równanie.
Mamy tym razem:
-
-
x cena bułeczki, 3x cena trzech bułeczek, 7,00 − 3x cena dwóch ciastek, \(\frac{7{,}00 - 3x}{2}\) cena ciastka, 2x cena dwóch bułeczek.
-
Otrzymujemy równanie
-
- \(2x + \frac{7{,}00 - 3x}{2} = 4{,}10,\)
którego rozwiązaniem jest x = 1,20. Zatem bułeczka kosztuje 1,20 zł. Cenę ciastka obliczamy tak jak poprzednio.
Sposób B3. Niewiadomą x będzie teraz cena ciastka. Cenę bułeczki wyznaczymy z pierwszego warunku, a drugi zapiszemy jako równanie.
Mamy zatem:
-
-
x cena ciastka, 4,10 − x cena dwóch bułeczek, \(\frac{4{,}10 - x}{2}\) cena bułeczki, \(3 \cdot \frac{4{,}10 - x}{2}\) cena trzech bułeczek, 2x cena dwóch ciastek.
-
Otrzymujemy równanie
-
- \(3 \cdot \frac{4{,}10 - x}{2} + 2x = 7,\!\! 00,\)
którego rozwiązaniem jest x = 1,70. Zatem ciastko kosztuje 1,70 zł. Cenę bułeczki obliczamy ze wzoru
-
- \(\frac{4{,}10 - x}{2} = \frac{4{,}10 - 1{,}70}{2} = \frac{2{,}40}{2} = 1{,}20.\)
Bułeczka kosztuje 1,20 zł.
Sposób B4. Niewiadomą x będzie jeszcze raz cena ciastka. Cenę bułeczki wyznaczymy z drugiego warunku, a pierwszy zapiszemy jako równanie.
Mamy zatem:
-
-
x cena ciastka, 2x cena dwóch ciastek 7{,}00 - 2x cena trzech bułeczek, \(\frac{7{,}00 - 2x}{3}\) cena bułeczki, \(2 \cdot \frac{7{,}00 - 2x}{3}\) cena dwóch bułeczek.
-
Otrzymujemy równanie
-
- \(2 \cdot \frac{7{,}00 - 2x}{3} + 3x = 4{,}10,\)
którego rozwiązaniem jest x = 1,70. Zatem ciastko kosztuje 1,70 zł. Cenę bułeczki obliczamy tak jak w poprzednim rozwiązaniu.
C. Układ równań z dwiema niewiadomymi.
Naturalne jest przyjęcie obu cen za niewiadome i zapisanie każdego z dwóch warunków w postaci równania. Mamy zatem:
-
-
x cena bułeczki, y cena ciastka, 2x cena dwóch bułeczek, 3x cena trzech bułeczek, 2y cena dwóch ciastek.
-
Otrzymujemy układ równań
-
- \(2x + y = 4,\!\! 10; \qquad 3x + 2y = 7,\!\! 00\)
którego rozwiązaniem jest
-
- \(x = 1,\!\! 20;\qquad y = 1,\!\! 70\)
Zatem bułeczka kosztuje 1,20 zł, a ciastko 1,70 zł.