Zadanie 8. Maharadża i perły

Maharadża obdarował trzy córki perłami przechowywanymi w szkatule. Najstarszej dał połowę zawartości szkatułki i jedną perłę, drugiej córce dał połowę reszty i jedną perłę, a najmłodszej połowę pozostałych pereł i jeszcze trzy perły i wówczas szkatułka pozostała pusta. Ile pereł miał maharadża w szkatule?

A. Rozwiązania bez równań.

To zadanie szczególnie dobrze nadaje się do rozwiązania metodą przeszukiwania. Zauważmy najpierw, że liczba pereł musiała być parzysta, bo najstarszej dał połowę wszystkich pereł i jedną perłę. A przecież pereł nie rozłupywał... W dalszym ciągu okaże się, że dla niektórych liczb postępowanie musi się zakończyć wcześniej, bo przed kolejnym podziałem pereł w szkatule została nieparzysta liczba pereł.

Budujemy zatem tabelkę (puste miejsce w tabelce oznacza, że dalsze postępowanie jest niemożliwe). Rozwiązanie zostanie znalezione, gdy w ostatniej kolumnie znajdzie się liczba 3. A oto tabelka:

Liczba pereł \(\quad \)	Pierwsza córka \(\quad \)	Zostało \(\quad \)	Druga córka \(\quad \)	Zostało \(\quad \)	Połowa reszty \(\quad \)	Zostało
2	2	0	−	−	−	−
4	3	1	−	−	−	−
6	4	2	2	0	−	−
8	5	3	−	−	−	−
10	6	4	3	1	−	−
12	7	5	−	−	−	−
14	8	6	4	2	1	1
16	9	7	−	−	−	−
18	10	8	5	3	−	−
20	11	9	−	−	−	−
22	12	10	6	4	2	2
24	13	11	−	−	−	−
26	14	12	7	5	−	−
28	15	13	−	−	−	−
30	16	14	8	6	3	3

Maharadża miał zatem 30 pereł.

Uwaga. To zadanie można także rozwiązać metodą rozumowania "od końca".

Najmłodszej córce maharadża dał połowę pozostałych pereł i jeszcze trzy perły. Ponieważ szkatułka została w ten sposób opróżniona, więc połowa pereł, którą dał tej córce, jest równa 3. A więc w chwili, gdy dawał perły najmłodszej córce, w szkatule zostało 6 pereł.

Zastanówmy się teraz, ile pereł było w szkatule, zanim dał perły drugiej córce. Dał połowę i jedną perłę i zostało 6 pereł. Gdyby tej jednej nie dał, to w szkatule zostałoby 7 pereł i to byłaby połowa wszystkich pereł. A więc w szkatule było 14 pereł.

Wreszcie popatrzmy, co było na początku. Najstarszej córce dał połowę pereł i jeszcze jedną perłę i zostało 14 pereł. Znów: gdyby tej jednej nie dał, to zostałoby 15 pereł, a więc na początku w szkatule było 30 pereł.

B. Równanie z jedną niewiadomą.

Naturalne jest przyjęcie za niewiadomą x liczby pereł w szkatule. Mamy zatem:

x	liczba pereł w szkatule na początku
\(\frac{x }{ 2}+1\)	tyle pereł maharadża dał najstarszej córce,
\(\frac{x }{ 2}-1 \)	tyle pereł zostało w szkatule,
\(\frac{1 }{ 2} \cdot \left( \frac{x }{ 2}-1 \right) + 1\)	tyle pereł dał drugiej córce,
\(\frac{1 }{ 2} \cdot \left( \frac{x }{ 2}-1 \right) - 1\qquad{}\)	tyle pereł zostało w szkatułce,
\(\frac{1 }{ 2} \cdot \left( \frac{1 }{ 2} \cdot \big( \frac{x }{ 2}-1 \big) - 1 \right)\)	połowa tego, co zostało.

Otrzymujemy stąd równanie

\( \textstyle \frac{1 }{ 2} \cdot \left( \frac{1 }{ 2} \cdot \left( \frac{x }{ 2}-1 \right) - 1 \right) = 3, \)

którego rozwiązaniem jest x = 30. Maharadża miał zatem 30 pereł.

C. Układ równań z trzema niewiadomymi.

Oznaczmy przez x liczbę pereł w~ szkatułce, a przez y i z liczby pereł, które dał pierwszym dwóm córkom. Mamy wtedy układ równań:

\( y = \frac{x}{2} +1,\)

\( z = \frac 12 ·(x-y) + 1, \)

\(\frac 12 \cdot (x - y - z) = 3, \)

którego rozwiązaniem jest

\( x = 30, \qquad y = 16, \qquad z = 8. \)

Maharadża miał zatem 30 pereł.